Question

Optimizacion:
Se debe fabricar una caja sin tapa a partir de un cuadrado de cartón de 176cm por 98cm, cortando
cuadrados de las esquinas y doblando hacia arriba las cejas formadas. Calcula el
volumen máximo que puede tener esa caja.

Answer 1

La cantidad que se corta en cada esquina es equivalente a la altura de las paredes de la caja, llamemosle x a esa cantidad

una vez cortadas las esquinas y hechos los dobleces, el largo y ancho de la caja seran $176-2x \qquad y \qquad 98-2x$

Calculamos el Volumen (area de la base por altura)

$V=(176-2x)(98-2x)(x)\\V=x(17248-548x+4x^2)\\V=4x^3-548x^2+17248x$

Si queremos saber el Volumen maximo al variar x, buscamos la derivada del Volumen con respecto a x y buscamos que valores la hacen igual a 0

$\frac{d\,V(x)}{dx}=3(4x^2)-2(548x)+17248\\ \frac{d\,V(x)}{dx}=12x^2-1096x+17248\\ \\Igualando \a \0: \\ \\ 12x^2-1096x+17248=0\\ \\ x=\frac{-(-1096)\pm \sqrt{(-1096)^2-4(12)(17248)}}{2(12)}\\ \\ =\frac{1096\pm \sqrt{373312}}{24}=\frac{1096\pm \sqrt{(2^6)(5833)}}{24}=\frac{1096\pm 8\sqrt{5833}}{24}=\frac{1}{3}(137\pm \sqrt{5833})$

obtenemos 2 valores, evaluamos V(x) en ambos:

$V(\frac{1}{3}(137+\sqrt{5833}))=-106220.74\\ V(\frac{1}{3}(137-\sqrt{5833}))=157773.33$

Entonces vemos que el Volumen es maximo para:

$Altura=\frac{1}{3}(137-\sqrt{5833})\approx 20.21\\ \\V_{max}=157773.33\,cm^3$