Question

Hallar la derivada de la función y= 5x^3 . 2x/ 6x^3

paso a paso por favor

Answer 1

$\frac{d}{dx}\left(5x^3\frac{2x}{6x^3}\right)$

se sacan las constantes

$5\cdot \frac{2}{6}\frac{d}{dx}\left(x^3\frac{x}{x^3}\right)$

se aplica la regla del producto en la derivada

$\left(f\cdot g\right)'=f\:'\cdot g+f\cdot g'$

donde $f=x^3,\:g=\frac{x}{x^3} = 5\cdot \frac{2}{6}\left(\frac{d}{dx}\left(x^3\right)\frac{x}{x^3}+\frac{d}{dx}\left(\frac{x}{x^3}\right)x^3\right)$

para derivar el cociente se usa la regla $\left(\frac{f}{g}\right)^'=\frac{f\:'\cdot g-g'\cdot f}{g^2}$

$=\frac{\frac{d}{dx}\left(x\right)x^3-\frac{d}{dx}\left(x^3\right)x}{\left(x^3\right)^2}$

$\frac{1\cdot \:x^3-3x^2x}{\left(x^3\right)^2} simplificando quedaria -\frac{2}{x^3}$

haciendo sustitucion $5\cdot \frac{2}{6}\left(3x^2\frac{x}{x^3}+\left(-\frac{2}{x^3}\right)x^3\right)$

$=\frac{5\left(-\frac{2}{x^3}x^3+3\cdot \frac{x}{x^3}x^2\right)}{3}= \frac{5}{3}$