En la siguiente figura se muestra un cubo de madera, donde P,QyR son puntos medios de las aristas correspondientes. Un plano que pasa por los puntos P,QyR divide al cubo de madera en dos partes (una de las cuales es un tetraedro).¿En que relacion estan los volumenes de esas dos partes?
dare 10 puntos a quien lo resuelva
la respuesta es de1 a 47 necesito la resolución
Respuestas
Al dividir el cubo por el plano que pasa por los puntos medios de las aristas P, Q y R, da como resultado dos poliedros, un tetaedro, como lo dice el enunciado, y un heptaedro, que es solo el cubo pero con una cara adicional (la base del heptaedro), producto del corte efectuado.
Entonces para ver en que proporción se distribuyen estos 2 poliedros, calculemos el volumen del tetraedro, y veamos su proporción con el cubo y el resultado lo restaremos del 100% (el volumen del cubo) cuya diferencia será la relación del heptaedro con respecto al cubo. Así, los dos resultados son los solicitados
El Volumen del Cubo es:
Vc = L * L * L = L³ ⇒ Vc = L³
El Volumen del Tetraedro es:
Vt = (√2/12)a³, donde a es la longitud de la arista del tetraedro. Pero como el plano de corte pasa por el punto medio de cada lado indicado del cubo, eso significa que la arista a tiene como longitud un valor de L/2.
De esta manera, el Volumen del tetraedro es :
Vt = (√2/12)L³
Entonces la relación Volumen Teatraedo vs Volumen del Cubo, Vt/Vc, se expresa como:
Vt/Vc = (√2/12)L³/ L³ = √2/12 = 0,015 = 1,5%
∴ Vt/Vc = 1,5%
Esto significa que la relación Volumen del Heptaedro vs Volumen del Cubo la podemos determinar como:
Vh / Vc = 100% - Vt/Vc = 100% - 1,5% = 98,5%
∴ Vh/Vc = 98,5%
Entonces la respuesta es que el tetraedo representa un 1,5% del volumen del cubo mientras que el heptaedro es el 98,5%
A tu orden...