Question

demuestra la ley de seno para el siguiente triángulo obtusangulo

Answer 1

Representamos el triángulo circunscrito en una circunferencia de radio RR (diámetro D=2RD=2R) y de centro oo.

Representamos otro triángulo de modo que:

uno de sus lados coincide con uno de los lados del triángulo inicial, por ejemplo, el lado bb.

es un triángulo rectángulo, es decir, uno de sus ángulos mide 90º. Para dicho ángulo, hemos escogido el vértice donde está el ángulo αα.

El triángulo tiene otros dos lados: kk y hh. El lado hh es su hipotenusa y puesto que pasa por el centro de la circunferencia, mide exactamente lo mismo que el diámetro:

h=D=2⋅Rh=D=2⋅R

Se cumple que los ángulos ηη y ββson iguales y, por tanto, también lo son sus senos:

sin(η)=sin(β)sin(η)=sin(β)

Y como el nuevo triángulo es rectángulo,

sin(β)=sin(η)=bhsin(β)=sin(η)=bh

Luego

h=bsin(β)h=bsin(β)

Como h=D=2Rh=D=2R,

2R=bsin(β)2R=bsin(β)

De forma similar, se obtienen las relaciones

2R=asin(α)2R=asin(α)

2R=csin(γ)2R=csin(γ)

de donde se concluye el teorema.