Question

Halle la ecuación de la recta tangente y la normal a la curva y = x 3 – x 2 en el punto (2,4)

Answer 1

¡Hola!

Tenemos la siguiente función:

$y = x^3-x^2$

Vamos a obtener la derivación de la función, veamos:

$\dfrac{d_y}{d_x},\:y = x^3-x^2$

$\dfrac{d}{d_x}\:(x^3-x^2)$

$\dfrac{d}{d_x} \:(x^3) - \dfrac{d}{d_x} \:(x^2)$

hagamos separados

$tenemos,\:\:\dfrac{d}{d_x}\:(x^3)$

si:

$\dfrac{d}{d_x}\:(x^n) = n*x^{n-1}$

entonces:

$\dfrac{d}{d_x}\:(x^3) = 3*x^{3-1}$

$\dfrac{d}{d_x}\:(x^3) = 3x^2$

$tenemos,\:\:\dfrac{d}{d_x}\:(x^2)$

si:

$\dfrac{d}{d_x}\:(x^n) = n*x^{n-2}$

entonces:

$\dfrac{d}{d_x}\:(x^2) =2*x^{3-2}$

$\dfrac{d}{d_x}\:(x^2) = 2x$

Volvemos al principio, si:

$\dfrac{d_y}{d_x} ,\:y = x^3-x^2$

$\dfrac{d}{d_x}\:(x^3-x^2)$

$\dfrac{d}{d_x} \:(y) = 3x^2-2x$

para una mejor utilidad, debemos escribir

$\dfrac{d}{d_x}\:y = y'$

$\boxed{y' = 3x^2-2x}\Longleftarrow(funci\'on\:derivada)$

Vamos a obtener el coeficiente angular (m), sustituyendo el punto en la función derivada, datos: P (2,4) ; y' = m

$m = 3x^2 - 2x$

$m = 3*(2^2) - 2*(2)$

$m = 3*4 - 4$

$m = 12 - 4$

$\boxed{m = 8}\Longleftarrow(coeficiente\:angular\:de\:la\:funci\'on\:derivada)$

Ahora sí, vamos a encontrar la ecuación de la recta tangente a la curva, veamos, datos: P (2,4) ; m = 8

$y - y_o = m(x - x_o)$

$y - 4 = 8(x-2)$

$y - 4 = 8x - 16$

$8x - 16 = y - 4$

$8x - y - 16 + 4 = 0$

$\boxed{\boxed{8x - y - 12 = 0}}\Longleftarrow(ecuaci\'on\:de\:la\:recta\:tangente\:a\:la\:curva)\end{array}}\qquad\checkmark$

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Ahora sí, vamos a encontrar la Ecuación Normal, pero para determinar la ecuación normal a la curva, basta invertir el coeficiente de la función derivada, veamos:

$y - y_o = \dfrac{1}{m} (x-x_o)$

$y - 4 = \dfrac{1}{8} (x-2)$

$8*(y-4) = x - 2$

$8y - 32 = x - 2$

$0 = x - 2 - 8y + 32$

$x - 8y + 32 - 2 = 0$

$\boxed{\boxed{x - 8y + 30 = 0}}\Longleftarrow(ecuaci\'on\:de\:la\:recta\:normal\:a\:la\:curva)\end{array}}\qquad\checkmark$

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¡Espero haberte ayudado, saludos... Dexteright02! =)