Se desea construir una caja de forma rectangular sin tapa a partir de una lámina de cartón de 50 cm por 40 cm. Para ello se cortarán cuadrados idénticos en las cuatro esquinas y se doblarán los lados hacia arriba. Con una precisión de 10-4, determine las dimensiones de la caja de tal manera que su volumen sea de 3500 . (Valor 2.5)
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Inicialmente debemos plantear que el volumen de una caja viene dado por la siguiente expresión:
V = Alto · Ancho · Largo
Realizando entonces el recorte de la caja tendremos que:
V = x · ( 50-x) · (40-x)
Teniendo el volumen, entonces:
3500 = x(50-2x)·(40-2x)
0 = x·(2000 - 180x + 4x²) - 3500
0 = 2000x - 180x² + 4x³ - 3500
4x³ - 180x² + 2000x - 3500 = 0
Entonces los valores de la ecuación son: x₁ = 28.5723, x₂= 14.2836, x₃ = 2.1440
El valor de x debe ser el más pequeño, por tanto:
Alto = 2.1440 cm
Ancho = 45.7120 cm
Largo = 35.7120 cm
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