Question

Me pueden ayudar?

Se desea construir una caja sin tapa con base rectangular a partir de una hoja de carton de 16cm de ancho y 22cm de largo, recortando un cuadrado en cada esquina y doblando los lados hacia arriba.
calcular el lado del cuadrado por el cual se obtiene una caja de volumen maximo usando criterio de la primer derivada.

Answer 1

Se desea construir una caja sin tapa con base rectangular a partir de una hoja de cartón de 16 cm de ancho y 22 cm de largo, recortando un cuadrado en cada esquina y doblando los lados hacia arriba.

Calcular el lado del cuadrado por el cual se obtiene una caja de volumen máximo usando criterio de la primer derivada.

Hola!!!

Comenzamos haciendo un esquema de la caja dándole notaciones Matemáticas a sus parámetros:

L = Largo

a = ancho

h = altura

Llamamos " X " al lado del cuadrado de las esquinas; por lo tanto los parámetros en función de " X " quedan:

L = 22 - 2x

a = 16 - 2x

h = x

Sabemos que el Volumen de un Prisma de base Rectangular:

V = L × a × h ⇒

V = (22 - 2X)(16 - 2X)×X ⇒

V = (352 - 44X - 32X + 4X²)×X ⇒

V = 4X³ - 76X² + 352X Función Objetivo

Debemos hallar el Dominio de valores para el cual es lógico calcular dicho volumen:

Partimos de: V = (22 - 2X)(16 - 2X)×X y lo estudiamos por factor ⇒

22 - 2x > 0 ⇒

22 > 2x ⇒

22/2 > x ⇒

11 > X ⇒

x < 11

16 - 2X > 0 ⇒

16 > 2x ⇒

16/2 > x ⇒

8 > x ⇒

X < 8

X > 0

Por lo tanto debemos estudiar estas 3 regiones de desigualdad y hallar su solución (Ver grafico adjunto)

Dominio: x ∈ (0 ; 8) ; 0 < X < 8

Ahora hallamos la derivada primera de la Función Objetivo:

V = 4X³ - 76X² + 352X ⇒

V' = 12X² - 152X + 352

Igualo a cero la Derivada Primera y resuelvo por la fórmula General:

X = (-b+-√b²-4×a×c)/2×a ⇒

Soluciones:

X₁ = 9,62

X₂ = 3,05

X₁ = 9,62 queda fuera del Dominio.

X₂ = 3,05 esta dentro del Dominio.

Con la Derivada Segunda podemos comprobar que este Punto Relativo es un Máximo.

V' = 12X² - 152X + 352 ⇒

V" = 24X - 152

Sustituyo en la ecuación de la derivada segunda el valor de " X " hallado anteriormente, teniendo en cuenta que:

Si f(x) < 0 ⇒ Concavidad Negativa ⇒ que el punto critico es un Máximo

V" = 24X - 152

V" = 24(3,05) - 152

V" = -78,8 < 0 ⇒ Máximo

Por lo tanto la medida del cuadrado que Maximiza el volumen de la caja es:

X = 3,05 Lado del cuadrado

Si queremos hallar el Volumen Máximo, sustituimos " X " en la Ecuación Objetivo del Volumen:

V.max. = 4X³ - 76X² + 352X

V.max. = 4(×3,15)²- 76×(3,15)² + 352×(3,05)

V.max. = 480 cm²

Dejo 2 archivos adjuntos con esquemas y mas cálculos.

Espero haber ayudado!!!

Saludos!!!

Answer 2

El lados del cuadrado por el cual se obtiene una caja de volumen máximo  es:

3,05 cm

¿Cuál es el volumen de un poliedro rectangular?

El volumen de un prisma rectangular es el producto de sus dimensiones.

V = largo × ancho × alto

¿Cuál es el lado del cuadrado por el cual se obtiene una caja de volumen máximo usando criterio de la primer derivada?

Siendo las dimensiones de la caja;

• largo = 22 - 2x
• ancho = 16 - 2x
• alto = x

Sustituir las dimensiones de la caja en el volumen ;

V = (x)(22-2x)(16-2x)

V = x(352 - 44x - 32x + 4x²)

V = 352x -76x² + 4x³

Aplicar primera derivada;

V' = d/dx [352x -76x² + 4x³]

V' = 352 - 152x + 12x²

Igualar a cero;

12x² - 152x + 352 = 0

Aplicar la resolvente;

$x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac } }{2a}$

Siendo;

• a = 12
• b = -152
• c = 352

sustituir;

$x_{1,2}=\frac{152\pm\sqrt{152^{2}-4(12)(352)} }{2(12)}$

x₁ = 9,6 cm

x₂ = 3,05 cm

Puedes ver más ejercicios de caja sin tapa aquí: https://brainly.lat/tarea/4425349