identifica cuales de las siguientes expresiones pueden resolverse mediante el método de completar un trinomio cuadrado perfecto
Respuestas
La solución de este problema consiste en resolver cada trinomio convirtiéndolo en un trinomio cuadrado perfecto y ver si tiene raíces que la resuelva.
Recordemos que un binomio lo podemos convertir en trinomio cuadrado perfecto si lo expresamos de la siguiente manera:
x² + bx = x² + bx + (b/2)² = (x + b/2)²
Basado en esta proposición resolvamos cada trinomio y veamos si tienen solución.
a) x² + 2/3x +1 = 0
x² + 2/3x = - 1; x² + 2/3x + (2/3/2)² = - 1 + (2/3/2)²
x² + 2/3x + (2/6)² = - 1 + (2/6)²; x² + 2/3x + (1/3)² = - 1 + (1/3)²
x² + 2/3x + (1/9) = - 1 + 1/9 ⇒ (x +1/9)² = -8/9
Como se puede ver, esta última expresión no tiene solución pues una expresión aritmética elevada al cuadrado no puede producir un resultado negativo. Lo que significa que la parábola no corta el eje de las X. Entonces, el caso a) no tiene solución por el método del trinomio cuadrado perfecto (MTCP).
b) x² + 4x + 2 = 0
Aplicando el método tenemos:
x² + 4x = -2; x² + 4x + (4/2)² = -2+ (4/2)²; x² + 4x + 4 = -2+ 4
⇒ (x + 2)² = 2; que tiene como solución x = -2 +/- √2
Entonces el caso b) sí puede ser resuelto por el método del TCP.
c) 2x² -3x = -4
Eliminemos el parámetro del primer término del trinomio:
2/2x² -3/2x = -4/2; x² -3/2x = -2
Luego
x² -3/2x + (-3/2/2)² = -2 + (-3/2/2)²; x² -3/2x + 9/16 = -2 + 9/16
x² -3/2x + 9/16 = -23/16 ⇒ (x - 3/4)² = -23/16
Como se puede ver, esta última expresión no tiene solución pues una expresión aritmética elevada al cuadrado no puede producir un resultado negativo. Lo que significa que la parábola no corta el eje de las X. Entonces, el caso c) no tiene solución por el método del trinomio cuadrado perfecto (MTCP).
d) 4x² - 2/5x + 7/3 = 0
Eliminemos el parámetro del primer término del trinomio:
4/4x² -2/5/4x + 7/3/4 = 0; x² - 1/10x + 7/12= 0
Aplicando el MTCP:
x² - 1/10x = -7/12; x² - 1/10x + (-1/10/2)²= -7/12 + (-1/10/2)²
x² - 1/10x + 1/400 = -7/12 + 1/400 ⇒ (x - 1/20)² = -2799/4800
Como se puede ver, esta última expresión no tiene solución pues una expresión aritmética elevada al cuadrado no puede producir un resultado negativo. Lo que significa que la parábola no corta el eje de las X. Entonces, el caso d) no tiene solución por el método del trinomio cuadrado perfecto (MTCP).
e) 1/2x² + 5x = -1/3
Eliminemos el parámetro del primer término del trinomio, multiplicando ambas igualdades por 2:
x² + 10x = -2/3;
Aplicando el MTCP:
x² + 10x + (10/2)²= -2/3 + (10/2)²
⇒ x² + 10x + 25 = -2/3 + 25 = 73/3; (x + 5)²= 73/3
Cuya solución es x = -5 +/- √ (73/3)
Entonces el caso e) sí puede ser resuelto por el MTCP.
f) 2x² - 8x + 1/5 = 0
Eliminemos el parámetro del primer término del trinomio, dividiendo ambas igualdades por 2:
x² -4x + 1/10= 0; x² - 4x = - 1/10
Aplicando el MTCP:
⇒ x² - 4x + (-4/2)² = -1/10 + (-4/2)²; x² - 4x + 4 = 19/10
⇒ (x - 2)² = 19/10
Cuya solución es x = 2 +/- √ (19/10)
Entonces el caso f) sí puede ser resuelto por el MTCP.
A tu orden...