Question

En una obra de construcción se tira verticalmente hacia arriba antes de los 15 m de altura un martillo con velocidad inicial de 40 m/s, en el mismo momento a 8 m de altura, sube un montacarga con velocidad constante de 2 m/s, si el martillo no pudo ser atajado, ¿Cuánto tiempo después y a qué altura chocará con el montacarga?

Answer 1

DATOS :

Martillo 1 :

ho1 = 15 m

Vo1 = 40 m/s

g = 9.8 m/seg²

montacargas :

ho2= 8 m

Vo2 = 2 m/seg

SOLUCIÓN :

Para resolver el ejercicio se procede a aplicar las fórmulas del movimiento vertical, de la siguiente manera :

h1 = ho1 * t -Vo1*t - g* t²/2

h1 = 15 - 40t - 4.9t²

Para el montacargas :

h2 = ho2 + Vo2* t

h2 = 8 + 2t

8 + 2t = 15 - 40t - 4.9t²

4.9t²+ 42t -7 =0

Resolviendo la ecuación de segundo grado, resulta :

t = 0.16 seg

La respuesta es t = 0.16 seg .

Answer 2

Respuesta:

Ambos objetos tardarán 7,935 s en encontrarse y lo harán a los 23,87 m de altura

Explicación:

Es un problema de encuentro con un móvil que se mueve en MRU (montacarga a velocidad constante), y un martillo que lo hace con MRUV (movimiento vertical sometido a la acción de la gravedad).

Sistema de referencia: velocidad inicial del martillo y la velocidad del montacarga llevan signos positivos porque van para arriba cuando se inician los movimientos de ambos, en cambio la aceleración de la gravedad es negativa porque va en sentido contrario, es decir, apunta todo el tiempo para abajo, hacia el piso.

• La ecuación de posición del martillo será: $H_{1} = H_{o} + v_{o}.t-\frac{1}{2}.g.t^{2}$

• La ecuación de posición del montacargas: $H_{2}=H_{0}+v.t$

Sabemos que se producirá un encuentro entre ambos objetos, por lo que punto de encuetro se producirá cuando ambos objetos estén a la misma altura, es decir:

• $H_{1}=H_{2}$

Reemplazamos con las ecuaciones citadas arriba:

• $H_{o}+v_{o}.t-\frac{1}{2}.g.t^2=H_{o}+v.t$      (ecuación 1)

En esa igualdad, el lado izquiero corresponde al martillo, y el derecho al montacargas.

El problema nos provee de varios datos:

Altura inicial $H_{o}$ del martillo: $15 m$

Altura inicial $H_{o}$ del montacargas: $8 m$

Velocidad inicial $v_{o}$ del martillo: $40 \frac{m}{s}$

Velocidad constante del montacargas: $2 \frac{m}{s}$

Procedemos entonces a reemplazar estos datos en nuestra ecuación 1:

• $15 m + 40 \frac{m}{s}.t-\frac{1}{2}.9.8 \frac{m}{s^2}.t^2 = 8 m + 2 \frac{m}{s}.t$

Se formó una ecuación de segundo grado donde nuestra incógnita es la "t". Se sabe que una ecuación de segundo grado se resuelve con fórmula resolvente, por lo que llevamos todos los términos al mismo lado para que nos quede igualado a cero y poder así aplicar resolvente.

• $15 m + 40 \frac{m}{s}.t-\frac{1}{2}.9.8 \frac{m}{s^2}.t^2 - 8 m - 2 \frac{m}{s}.t= 0$

Ordenamos la ecuación y a la vez asociamos términos con partes literales iguales:

• $-\frac{1}{2}.9.8 \frac{m}{s^2}.t^2 + (40 \frac{m}{s}.t - 2 \frac{m}{s}.t) + (15 m - 8 m) = 0$

Resolviendo términos:

• $-4,9 \frac{m}{s^2}.t^2 + 38 \frac{m}{s}.t + 7 m = 0$

Con resolvente salen dos posibles valores para "t":

• $t_{1} = -0,180 s$ y $t_{2} = 7,935 s$

Donde claramente nos quedamos con los 7,935 s, es el que más sentido físico tiene. Es lógico pensar que los objetos se encuentren a los 7,935 s, que a los casi 0 segundos.

Respuesta: El martilo y el montacargas chocarán a los $7,935 s$.

Ahora para calcular la altura ya es un proceso bastante sencillo ya que conocemos el tiempo en el que chocarán. Basta con que reemplacemos este tiempo en cualquiera de las dos ecuaciones de altura planteadas arriba que nos darán el mismo resultado ya que es el punto de encuentro, o sea, la altura donde ambos coincidirán en el espacio.

Si optamos por usar la ecuación del martillo: $H_{1} = H{o} + v_{o}.t - \frac{1}{2} . g . t^2$

Reemplazando quedaría:

• $H_{1} = 15 m + 40 \frac{m}{s} . 7,935 s - \frac{1}{2} . 9,8 \frac{m}{s^2} . (7,935 s)^2$ = 23,875 m

Si hubiéramos optado por usar la ecuación del montacargas: $H_{2} = H_{0} + v . t$

Reemplazando con los datos quedaría:

• $H_{2} = 8 m + 2 \frac{m}{s} . 7,935 s$ = 23,87 m

Ambas ecuaciones dan prácticamente el mismo resultado, aproximadamente 23,87 m

Respuesta: El martillo y el motacargas chocarán a los $23,87 m$ de altura.