Question

Demuestre que si u y v son diferentes del vector cero, entonces |u + v| = |u| + |v| si y sólo si u es un múltiplo escalar positivo de v.

Answer 1

$|u+v|^2=(|u|+|v|)^2\\ |u|^2+|v|^2+2u\cdot v=|u|^2+|v|^2+2|u|\cdot |v|\\ u\cdot v=|u|\cdot |v|\\ \\ \dfrac{u\cdot v}{|u|\cdot |v|}=1\\ \\ \cos \theta =1\\ \theta = 0\\ \\ \text{Entonces los vectores \vec{u} y \vec{v} van en la misma direcci\'on, por ende son paralelos:}\\ \\ \vec{u}=k\cdot \vec{v}\,,~~k\in \mathbb{R}^+$