Question

detallado por favor, se me complica con el elemento A13

Answer 1

$A^2=\left[\begin{matrix} 1&2&1\\ 0&1&2\\ 0&0&1 \end{matrix} \right]\hspace{1cm}A^3=\left[\begin{matrix} 1&3&3\\ 0&1&3\\ 0&0&1 \end{matrix} \right] \hspace{1cm}A^4=\left[\begin{matrix} 1&4&6\\ 0&1&4\\ 0&0&1 \end{matrix} \right]\\ \\ \\ A^5=\left[\begin{matrix} 1&5&10\\ 0&1&5\\ 0&0&1 \end{matrix} \right]\hspace{1cm}A^6=\left[\begin{matrix} 1&6&15\\ 0&1&6\\ 0&0&1 \end{matrix}\right] \hspace{1cm}A^7=\left[\begin{matrix} 1&7&21\\ 0&1&7\\ 0&0&1 \end{matrix}\right]$

$A^n=\left[\begin{matrix} 1&n&f(n)\\ 0&1&n\\ 0&0&1 \end{matrix}\right]\\ \\ \text{donde: }\\ \\ f(1)=0,f(2)=1,f(3)=3,f(4)=6.f(5)=10,f(6)=15,f(7)=21\\ \\ f(n)=\dfrac{n(n-1)}{2}\\ \\ \\ A^n=\left[\begin{matrix} 1&n&\frac{n(n-1)}{2}\\ 0&1&n\\ 0&0&1 \end{matrix}\right]$

Probemos tal fórmula por inducción

(1) para n = 1 se cumple

(2) supongamos que para n = h se cumpla, ahora veamos

$A^{h+1}=A^h\cdot A\\ \\ A^{h+1}=\left[\begin{matrix} 1&h&\frac{h(h-1)}{2}\\ 0&1&h\\ 0&0&1 \end{matrix}\right]\cdot \left[\begin{matrix} 1&1&0\\ 0&1&1\\ 0&0&1 \end{matrix}\right]\\ \\ \\ A^{h+1}=\left[\begin{matrix} 1&n&\frac{(h+1)h}{2}\\ 0&1&n\\ 0&0&1 \end{matrix}\right]=\left[\begin{matrix} 1&n&\frac{(h+1)((h+1)-1)}{2}\\ 0&1&n\\ 0&0&1 \end{matrix}\right]$

Por ende la fórmula encontrada es válida.