Question

2. Dada la ecuación general, halle la ecuación canónica y determine las coordenadas del centro de la elipse y los valores de a, b y c. 9x2+4y2-36x-8y+4=0

Answer 1

⭐Tenemos como cónica una elipse si se presentan en la ecuación dos variables cuadráticas de diferente coeficiente y sumándose, siguiendo la forma:

$\frac{(x-h)^{2}}{a^{2}} +\frac{(y-k)^{2}}{b^{2}} =1$

Con centro: (h, k)

Tenemos la expresión:

9x² + 4y² - 36x - 8y + 4 = 0

Agrupamos las x e y:

(9x² - 36x) + (4y² - 8y) = -4

Dejamos los términos cuadráticos de forma lineal (coeficiente 1):

9(x² - 4x) + 4(y² - 2y) = -4

Completaremos cuadrados:

9(x² - 4x + 4 - 4) + 4(y² -2y + 1 - 1) = -4

9(x - 2)² -36 + 4(y - 1)² - 4 = -4

9(x - 2)² + 4(y - 1)² = -4 + 4 + 36

9(x - 2)² + 4(y - 1)² = 36

Dividimos todo entre 36:

$\frac{9(x-2)^{2}}{36} +\frac{4(y-1)^{2}}{36} =\frac{36}{36}$

$\frac{(x-2)^{2}}{4} +\frac{(y-1)^{2}}{9} =1$

$\frac{(x-2)^{2}}{2^{2}} +\frac{(y-1)^{2}}{3^{2}} =1$

Elipse con centro: (h,k) → (2,1)

a: √4 = 2

b = √9 = 3

Se tiene que c:

c² = 3² - 2²

c² = 9 - 4

c = 5

c = √5