Question

Sea P(x)=
${2}x^{3} - {x}^{2} - 3kx + 9$
Halla k perteneciente a los Reales para que P(x) sea divisible por
$(x - \frac{1}{2} )$

Answer 1

Veamos:

Hay un teorema llamado "Teorema del residuo" que dice que si un polinomio P(x) se divide por x - c, el residuo de la división es P(c).

Por ejemplo, si quisiéramos saber el residuo de esta división:

(2x³ - 7x² + 5) ÷ (x - 3)

Tendríamos que evaluar el primer polinomio en (3):

P(3) = 2(3)³ - 7(3)² + 5

= 2(27) - 7(9) + 5

= 54 - 63 + 5

= -4

El residuo de la división es -4.

.

En este ejercicio, nosotros queremos que el residuo de la división sea cero, ya que un polinomio es divisible entre otro polinomio, si el residuo de la división es cero.

Entonces, para hallar k, podemos usar el teorema del residuo.

Evaluamos el polinomio en (1/2) e igualamos el resultado a cero.

Luego, vamos resolviendo hasta despejar k:

$2 {x}^{3} - {x}^{2} - 3kx + 9 \\ \\ 2( { \frac{1}{2} })^{3} - (\frac{1}{2} )^{2} - 3k( \frac{1}{2} ) + 9 = 0 \\ \\ 2( \frac{ {1}^{3} }{ {2}^{3} } ) - ( \frac{ {1}^{2} }{ {2}^{2} } ) - 3k( \frac{1}{2} ) + 9 = 0 \\ \\ 2( \frac{1}{8} ) - \frac{1}{4} - \frac{3k}{2} + 9 = 0 \\ \\ \frac{2}{8} - \frac{1}{4} - \frac{3k}{2} + 9 = 0 \\ \\ \frac{1}{4} - \frac{1}{4} - \frac{3k}{2} + 9 = 0 \\ \\ \frac{ - 3k}{2} + 9 = 0 \\ \\ \frac{ - 3k}{2} = - 9 \\ \\ - 3k = - 9(2) \\ \\ - 3k = - 18 \\ \\ k = \frac{ - 18}{ - 3} \\ \\ k = 6$

Espero haber explicado claramente. Si no entiendes algo puedes dejar tu duda en un comentario