Considera la siguiente función y responde los incisos: a) Calcula los puntos críticos de la función . (Valor 1.2 puntos) b) Identifica los intervalos del dominio donde la función es creciente y decreciente. (Valor 1.2 puntos) c) Encuentra los puntos del dominio donde la función alcanza sus máximos y mínimos locales y globales (si es que los hay). (Valor 1.2 puntos) d) Localiza los intervalos de concavidad. (Valor 1.2 puntos) e) Encuentra los puntos de inflexión. (Valor 1.2 puntos) , .
Respuestas
DATOS:
Parece que ha faltado información en tu pregunta, para ayudarte a contestar esta, vamos a suponer que el enunciado completo es el dado en el adjunto .
Considera la siguiente función y responde los incisos:
F(x) = x³/3 - 25x + 1
Calcular:
a) Puntos críticos =?
b) Intervalos donde la F(x) es creciente y decreciente=?
c) Puntos donde la F(x) alcanza sus máximos y mínimos =? y globales (si hay)
d) intervalos de concavidad =?
e) Puntos de inflexión =?
SOLUCIÓN :
a) Puntos críticos :
dF/dx = 3x²/3 -25 = x² - 25
dF/dx =0
x² - 25 =0
x² = 25
x= √25 = -+ 5
x1 = 5 y x2 = -5
los puntos críticos son : x1 = 5 y x2 = -5
b) Los puntos críticos dividen a R ( el dominio de la función) en tres intervalos (-∞ , - 5 ) U ( -5 , 5 ) U ( 5 , ∞ ) se toma un valor arbitrario de cada intervalo y se evalúa directamente en la derivada para encontrar el signo, si da + es creciente y - es decreciente .
Para: x = -8 dF/dx = ( -8)² - 25 = 64 -25 = 39
x = 0 dF/dx = (0)² - 25 = - 25
x = 10 dF/dx = ( 10 )² - 25 = 100 - 25 = 75
la función es creciente = ( -∞ , -5 ) U ( 5 , ∞)
la función es decreciente = ( - 5 , 5 )
c) Criterio de la primera derivada :
en x = - 5 es un punto máximo, porque cambia la primera derivada de +a-
en x = 5 es un punto mínimo, porque cambia la primera derivada de - a + .
Punto máximo=( -5 , 253/3)
Punto mínimo = ( 5 , -97/3)
d ) Para encontrar los intervalos de concavidad se iguala la segunda derivada a 0:
d²F(x)/dx² = 2x =0 x =0 este punto divide al dominio en dos intervalos .
( - ∞ , 0 ) U( 0 , ∞) evaluando cada intervalo en la segunda derivada.
En x= -2 d²F(x)/ dx² = 2x = 2*(-2) = -4
En x= 3 d²F(x)/dx² = 2* 3 = 6
la función es cóncava hacia arriba en : ( 0 , ∞)
la función es cóncava hacia abajo en : ( -∞ , 0 )
e) Un punto de inflexión ocurre cuando la concavidad de la función cambia.
x =0 es un punto de inflexión.
F(o ) = 0³/3 - 25*0 +1 = 1
Punto de inflexión = ( 0 , 1)
