Question

Una empresa está formada por 8 hombres y 4 mujeres. Se va a seleccionar un comité con cuatro elementos para recomendar a un nuevo presidente de la empresa. a. ¿Cuál es la probabilidad de que los cuatro integrantes del comité sean mujeres? b. ¿Cuál es la probabilidad que los 4 integrantes sean hombres?

Answer 1

Una empresa está formada por 8 hombres y 4 mujeres. Se va a seleccionar un comité con cuatro elementos para recomendar a un nuevo presidente de la empresa. a. ¿Cuál es la probabilidad de que los cuatro integrantes del comité sean mujeres? b. ¿Cuál es la probabilidad que los 4 integrantes sean hombres?

Solución

• Tenemos los siguientes datos:

8 hombres

4 mujeres

12 personas en total

Pa (probabilidad de que la comisión esté formada por 4 mujeres) =?

Pb (probabilidad de que la comisión esté formada por 4 hombres) =?

Comisión Posible (Cp): Se pretende formar comisión eligiendo a 4 personas de entre 12, sin importar el orden que venga a formarse, usamos combinaciones simples para comisión posible, veamos:

$C_{p}=C_{12,4}=\dfrac{12!}{4!(12-4)!}$

$C_{12,4}=\dfrac{12*11*10*9*8!}{4!8!}$

$C_{12,4}=\dfrac{\diagup\!\!\!\!\!12^3*11*\diagup\!\!\!\!10^5*\diagup\!\!\!\!9^3*\diagup\!\!\!\!8!}{\diagup\!\!\!\!4*\diagup\!\!\!\!3*\diagup\!\!\!\!2*\diagup\!\!\!\!8!}$

$C_{12,4}= 3*11*5*3 = 495$

$C_{p}=C_{12,4}= 495$

______________________________

• a) Si la comisión está formada por 4 mujeres, elegimos 4 mujeres de entre 4 del total, nos quedamos con la siguiente combinación favorable (Cf):

$C_{4,4}=\dfrac{4!}{4!0!}$

$C_{4,4}=\dfrac{\diagup\!\!\!\!\!4!^1}{\diagup\!\!\!\!\!4!^1*1}$

$C_{f}=C_{4,4}= 1$

• Ahora, calculamos la probabilidad que la comisión esté formada por 4 mujeres, veamos:

$P_a=\dfrac{C_{f}}{C_{p}} \to \boxed{\boxed{P_a = \frac{1}{495} }}\end{array}}\qquad\checkmark$

_______________

• b) Si la comisión está formada por 4 hombres, elegimos 4 hombres de entre el 8 del total, nos quedamos con la siguiente combinación favorable (Cf):

$C_{8,4}=\dfrac{8!}{4!4!}$

$C_{8,4}=\dfrac{\diagup\!\!\!\!\!8^2*7*\diagup\!\!\!\!\!6^2*5*\diagup\!\!\!\!\!4!}{\diagup\!\!\!\!\!4^1*\diagup\!\!\!\!\!3^1*2*1*\diagup\!\!\!\!\!4!}$

$C_{8,4}= \dfrac{2*7*2*5}{2} = \dfrac{140}{2} = 70$

$C_{f}=C_{8,4}= 70$

• Ahora, calculamos la probabilidad que la comisión esté formada por 4 hombres, veamos:

$P_b=\dfrac{C_{f}}{C_{p}} \to P_b = \dfrac{70}{495} \to P_b = \dfrac{70}{495}\frac{\div5}{\div5} \to \boxed{\boxed{P_b = \frac{14}{99} }}\end{array}}\qquad\checkmark$

______________________

¡Espero haberte ayudado, saludos... DexteR!