Question

a) El valor de "k" para que una raíz sea la mitad del reciproco de la otra.
b) El valor de "k" para que las raíces sean iguales.
c) El valor de "k" para que las raíces sean iguales y de signo contrario.(K+3)X2 +2K(X+1)+3=0

Answer 1

Sabemos que podemos encontrar las raíces de un polinomio de segundo grado con la resolvente:

sea el polinomio: $ax^{2} -bx+c$

sus raíces son:

$x_{1} = \frac{-b+\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$

$x_{2} = \frac{-b-\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$

Primero desarrollamos el polinomio:

$(k+3)x^{2} +(2k)x+(2k+3)$ , por lo tanto:

- a= k+3

- b= 2k

- c= 2k+3

Por lo que las raíces del polinomio dado son:

$x_{1} = \frac{-2k+\sqrt{4k^{2}-4(k+3)(2k+3)}}{2(k+3)}$

$x_{2} = \frac{-2k-\sqrt{4k^{2}-4(k+3)(2k+3)}}{2(k+3)}$

Reciproco: Dado un número "a" el reciproco de "a" es número "b", tal que a*b = 1. Para el conjunto de los reales el reciproco de a es 1/a.

Quiero que la segunda raíz sea igual a la mitad del reciproco de la otra:

$\frac{1}{2(x_{2})}$

$\frac{-2k+\sqrt{4k^{2}-4(k+3)(2k+3)}}{2(k+3)} = \frac{4*(k+3)}{-2k-\sqrt{4k^{2}-4(k+3)(2k+3)}}$

$(-2k+\sqrt{4k^{2}-4(k+3)(2k+3)})*(-2k-\sqrt{4k^{2}-4(k+3)(2k+3)})=(k+3)*8(k+3)$

$(-2k)^{2}-(\sqrt{4k^{2}-4(k+3)(2k+3)})^{2}=8*(k+3)^{2}$

$4k^{2}-(4k^{2}-4(k+3)(2k+3))=8*(k^{2} +6k+9)$

$4k^{2}-4k^{2}+4(k+3)(2k+3))=8k^{2} +48k+72$

$(4k+12)(2k+3)=8k^{2} +48k+72$

$8k^{2}+12k+24k+36 =8k^{2} +48k+72$

$36k-48k =72-36$

-12k= 36

k= -3

Se puede probar utilizando que la segunda raíz es la que es la mitad del reciproco de la segunda y obtendremos lo mismo. (pues no es relevante al resolver el sistema, nos queda igual)

Ahora si k= -3, no tendría 2 raíces ya que el polinomio seria de primer grado.

b) valor de K para que las raíces sean iguales:

Igualamos las raíces:

$\frac{-2k+\sqrt{4k^{2}-4(k+3)(2k+3)}}{2(k+3)}=\frac{-2k-\sqrt{4k^{2}-4(k+3)(2k+3)}}{2(k+3)}$

$-2k+\sqrt{4k^{2}-4(k+3)(2k+3)}}}= -2k-\sqrt{4k^{2}-4(k+3)(2k+3)}}}$

$\sqrt{4k^{2}-4(k+3)(2k+3)}}}= -\sqrt{4k^{2}-4(k+3)(2k+3)}}}$

$\sqrt{4k^{2}-4(k+3)(2k+3)}}}+ \sqrt{4k^{2}-4(k+3)(2k+3)}}}= 0$

$2 \sqrt{4k^{2}-4(k+3)(2k+3)}}}= 0$

$4k^{2}-4(k+3)(2k+3) = 0$

$4k^{2}-8k^{2}-12k-24k-36 = 0$

$-4k^{2}-36k-36 = 0$

k= $-4.5 - 1.5\sqrt{5}$ ó

k= $-4.5 - 1.5\sqrt{5}$

c) el valor "k" para que las raices sean iguales y de signo contrario

$\frac{-2k+\sqrt{4k^{2}-4(k+3)(2k+3)}}{2(k+3)}=\frac{+2k+\sqrt{4k^{2}-4(k+3)(2k+3)}}{2(k+3)}$

$-2k+\sqrt{4k^{2}-4(k+3)(2k+3)}}=+2k+\sqrt{4k^{2}-4(k+3)(2k+3)}$

$-2k=+2k$

k= 0

si k = 0 :

el polinomio es:

$(3)x^{2} +3$

Este polinomio no tiene raíces reales por lo tanto el problema no tiene solución.

Answer 2

Respuesta:

mmmmmmmm

Explicación paso a paso: