Question

¿Cómo realizar el sistema de ecuaciones?
Un grupo de 18 personas, hombres, mujeres y jóvenes gana en total $250 por hora. Los hombres ganan $20 por hora, las mujeres $15 por hora y los jóvenes $10 por hora. Hallar el número de hombres, mujeres y jóvenes.

Answer 1

¿Cómo realizar el sistema de ecuaciones?

Un grupo de 18 personas, hombres, mujeres y jóvenes gana en total $250 por hora. Los hombres ganan $20 por hora, las mujeres $15 por hora y los jóvenes $10 por hora. Hallar el número de hombres, mujeres y jóvenes.

Hola!

Es un sistema de 2 ecuaciones con 3 incógnitas

El sistema sería así

Hombres = H Mujeres= M Jovenes = J

$\left \{ {{H+ M + J= 18} \atop {\ 20H + \ 15m+ \ 10j= \ 250}} \right.$

• Primero despejamos la primer ecuación y la sustituímos en la segunda ecuación!

$\left \{ {{H+ M + J= 18} \atop {\ 20H + \ 15M+ \ 10J= \ 250}} \right.\\ \\ \\ H=18 -M -J \\ \\ 20(18 - M- J) +15M + 10J = 250$

• Segundo trabajamos la ecuación que sustituímos

$\left \{ {{H+ M + J= 18} \atop {\ 20H + \ 15M+ \ 10J= \ 250}} \right.\\ \\ \\ H=18 -M -J \\ \\ 20(18 - M- J) +15M + 10J = 250 \\ \\ \\ 360-20M-20J +15M +10J = 250\\ \\ 360 - 5M - 10J = 250\\ \\ 360-250= 5M + 10J \\ \\ 110-5M = 10J\\ \\ \boxed{\dfrac{110}{10}- \dfrac{5}{10}M= J}$

• Tercero llevamos el valor de J a la primer ecuación

$\left \{ {{H+ M + J= 18} \atop {\ 20H + \ 15M+ \ 10J= \ 250}} \right.\\ \\ \\ H=18 -M -(11 - \frac{1}{2}M) \\ \\ H= 18 - M - 11 + \frac{1}{2}M\\ \\ \boxed{H= 7 - \frac{1}{2}M}$

• Cuarto tenemos tres resultados, ahora le damos un valor a M, de esta manera:

$M= t\qquad \qquad H= 7 - \frac{1}{2}M \qquad \qquad J=11- \frac{1}{2} M \\ \\ entonces \\ \\ M= t\qquad \qquad H= 7 - \frac{1}{2}t \qquad \qquad J=11- \frac{1}{2} t\\ \\ Como \ debemos \ hallar\ cantidad \ de \ personas \ debe \ ser un \ numero\ entero\\ \\ \\ M=2\qquad \qquad H= 7 - \frac{1}{2}*2 \qquad \qquad J=11- \frac{1}{2} *2\\ \\ M=2\qquad \qquad H= 7 - 1 \qquad \qquad J=11-1\\ \\ M=2\qquad \qquad H=6 \qquad \qquad J=10$

Respuesta: Hay 6 Hombres, 2 Mujeres y 10 Jovenes

Comprobación, simplemente colocamos los valores que ganan por hora y nos debe dar el total

$\ 20H + \ 15M + \ 10J =\ 250 \\ \\\ 20(6) + \ 15(2) + \ 10(10) =\ 250 \\ \\\ 120 + \ 30 + \ 100 =\ 250 \\ \\ \ 250= \ 250\quad\checkmark$

Espero que te sirva, salu2!!!!