Question

determinar en el ejercicio
a) el valor "k" para que una raiz sea la mitad del reciproco de la otra
b) el valor de "k" para que las raices sean iguales
c) el valor "k" para que las raices sean iguales y de signo contrario (k+3)x2+2k(x+1)+3=0

Answer 1

a) el valor "k" para que una raíz sea la mitad del reciproco de la otra

Sabemos que podemos encontrar las raíces de un polinomio de segundo grado con la resolvente:

sea el polinomio: $ax^{2} -bx+c$

sus raíces son:

$x_{1} = \frac{-b+\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$

$x_{2} = \frac{-b-\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$

Primero desarrollamos el polinomio:

$(k+3)x^{2} +(2k)x+(2k+3)$ , por lo tanto:

- a= k+3

- b= 2k

- c= 2k+3

Por lo que las raíces del polinomio dado son:

$x_{1} = \frac{-2k+\sqrt{4k^{2}-4(k+3)(2k+3)}}{2(k+3)}$

$x_{2} = \frac{-2k-\sqrt{4k^{2}-4(k+3)(2k+3)}}{2(k+3)}$

Reciproco: Dado un número "a" el reciproco de "a" es número "b", tal que a*b = 1. Para el conjunto de los reales el reciproco de a es 1/a.

Quiero que la segunda raíz sea igual a la mitad del reciproco de la otra:

$\frac{1}{2(x_{2})}$

$\frac{-2k+\sqrt{4k^{2}-4(k+3)(2k+3)}}{2(k+3)} = \frac{4(k+3)}{-2k+\sqrt{4k^{2}-4(k+3)(2k+3)}}$

$(-2k+\sqrt{4k^{2}-4(k+3)(2k+3)})*(-2k-\sqrt{4k^{2}-4(k+3)(2k+3)})=(k+3)*8(k+3)$

$(-2k)^{2}-(\sqrt{4k^{2}-4(k+3)(2k+3)})^{2}=8*(k+3)^{2}$

$4k^{2}-(4k^{2}-4(k+3)(2k+3))=8*(k^{2} +6k+9)$

$4k^{2}-4k^{2}+4(k+3)(2k+3))=8k^{2} +48k+72$

$(4k+12)(2k+3)=8k^{2} +48k+72$

$8k^{2}+12k+24k+36 =8k^{2} +48k+72$

$-12k-36 =0$

k= -36/12 = -3

Se puede probar utilizando que la segunda raíz es la que es la mitad del reciproco de la segunda y obtendremos lo mismo. (pues no es relevante al resolver el sistema, nos queda igual)

Ahora si k= -3, no tendría 2 raíces ya que el polinomio seria de primer grado.

Por lo tanto, queda demostrado que no existe k que cumpla la condición.

b) valor de K para que las raíces sean iguales:

Igualamos las raíces:

$\frac{-2k+\sqrt{4k^{2}-4(k+3)(2k+3)}}{2(k+3)}=\frac{-2k-\sqrt{4k^{2}-4(k+3)(2k+3)}}{2(k+3)}$

$-2k+\sqrt{4k^{2}-4(k+3)(2k+3)}}}= -2k-\sqrt{4k^{2}-4(k+3)(2k+3)}}}$

$\sqrt{4k^{2}-4(k+3)(2k+3)}}}= -\sqrt{4k^{2}-4(k+3)(2k+3)}}}$

$\sqrt{4k^{2}-4(k+3)(2k+3)}}}+ \sqrt{4k^{2}-4(k+3)(2k+3)}}}= 0$

$2 \sqrt{4k^{2}-4(k+3)(2k+3)}}}= 0$

$4k^{2}-4(k+3)(2k+3) = 0$

$4k^{2}-8k^{2}-12k-24k-36 = 0$

$-4k^{2}-36k-36 = 0$

k= $-4.5 - 1.5\sqrt{5}$

ó

k= $-4.5 - 1.5\sqrt{5}$

c) el valor "k" para que las raices sean iguales y de signo contrario

$\frac{-2k+\sqrt{4k^{2}-4(k+3)(2k+3)}}{2(k+3)}=\frac{+2k+\sqrt{4k^{2}-4(k+3)(2k+3)}}{2(k+3)}$

$-2k+\sqrt{4k^{2}-4(k+3)(2k+3)}}=+2k+\sqrt{4k^{2}-4(k+3)(2k+3)}$

$-2k=+2k$

k= -k

El único numero real que es igual a su opuesto es el 0

si k = 0 :

el polinomio es:

$(3)x^{2} +3$

Que no tiene raíces reales, por lo tanto no existe k que cumpla con la condición