Calcular la distancia que existe entre el punto con coordenadas P= (4,6) y la recta 4 x - 8y - 10=0 Ayuda por favor que tengo que entregar mañana.
Respuestas
La distancia del punto a la recta es :
|Axo+Byo+C| / √(A²+B²)
de una recta L : Ax+ By + C = 0
y de un punto P( xo,yo)
Reemplazando:
|4(4)-8(6)-10| / √4²+8²
42/√80 = d
El punto (4 , 6) no pertenece a la recta dada.
1 . Buscamos la recta que pase por (4 , 6) y que sea perpendicular a la recta dada.
2 . Luego determinamos el punto de corte entre las dos rectas.
3. La distancia buscada es la distancia entre (4 , 6) y el punto de corte de las dos rectas .
RECTA QUE PASA POR (4 , 6) Y ES PERPENDICULAR A LA RECTA DADA.
La pendiente Md de la recta dada se determina despejando la variable Y.
-8Y = -4X + 10
Y = (-4 / -8) X - 10 / 8
Y = (1 / 2)X - 5 / 4...................( 1 )
Md = 1 / 2
El producto de la pendiente Mb de la recta buscada con la pendiente Md debe ser -1.
Entonces, Mb . (1 / 2) = -1
................... Mb = -1 / (1 / 2)
................... Mb = -2
Con esta pendiente y el punto (4 , 6) se escribe la ecuación de la recta. Es de la forma Y - Y1 = Mb (X - X1), donde (X1 , Y1) es (4 , 6):
Y - 6 = -2 (X - 4)
Y = -2 (X - 4) + 6
Y = -2X + 8 + 6
Y = -2X + 14....................( 2 ).
PUNTO DE CORTE ENTRE LAS DOS RECTAS.
Se igualan las ecuaciones ( 1 ) y ( 2 ) :
(1 / 2)X - 5 / 4 = -2X + 14
Se multiplica esta ecuación por 4 para eliminar los denominadores:
2X - 5 = -8X + 56
2X + 8X = 56 + 5
10X = 61
X = 61 / 10
X = 6, 1
Se sustituye el valor de X en la ecuación ( 2 ):
Y = -2(6, 1) + 14
Y = -12, 2 + 14
Y = 1, 8
El punto de corte entre las rectas perpendiculares es (6.1 , 1.8)
DISTANCIA ENTRE (4 , 6) Y (6.1 , 1.8):
D^2 = ( 4 - 6, 1)^2 + (6 - 1, 8)^2
D^2 = (-2, 1)^2 + (4, 2)^2
D^2 = 4, 41 + 17, 64
D^2 = 22, 05
D = Raíz de 22, 05
D = 4, 6957 (unidades de longitud).
Respuesta: La distancia entre el punto (4, 6) y la recta 4 x - 8y - 10=0,
......................es D = Raíz de 22, 05. Aproximadamente 4, 6957 unidades de
......................longitud.