Una página rectangular contendrá 30 pulgadas cuadradas de área impresa. Los márgenes de cada lado son de 1 pulgada. Encontrar las dimensiones de la página de manera tal que se use la menor cantidad de papel. .
Respuestas
⭐El área de la página rectangular es 30 pulgadas cuadradas:
30 = x · y
Donde: x es la media horizontal e y la vertical.
Despejamos y:
y = 30/x
Al contar en cuenta que los margenes reducen en 1 centímetro el área total, el área a minimizar será:
A = (x + 2) · (y + 2)
⛔ Se usa 2 porque el margen es tanto superior como inferior, y hay dos más, uno a la derecha y otro a la izquierda.
Sustituimos y en esta ecuación:
A = (x + 2) · (30/x + 2)
A = 30 + 2x + 60/x + 4
A = 34 + 2x + 60/x → Función de una variable
Debido a que x debe ser positivo (x > 0). Encontraos los puntos críticos derivando la función respecto a x:
dA/dx = 2 - 60/x²
0 = 2 - 60/x²
60/x² = 2
60/2 = x²
30 = x²
x = √30 → Por lo tanto la función es un mínimo cuando x = √30, confirmado por el criterio de la primera derivada.
De este modo, y es igual a: y = 30/√30 → √30
Y las dimensiones de la página de la página deben ser:
√30 + 2