Question

Productos Vectoraiales
. Encuentra el ángulo que existe entre los siguientes pares de vectores.
a) u = 2i – 4j, v = 3i + 2j
b) u = 6i – 11j, v = 11i + 9j
c) u = i + j, v = – 5i + 7j
d) u = 5i – 4j, v = 3i + 4j
e) u = 25i + 45j, v = 5i + 9j
f) u = -13i -10j, v = 13i – 10j

Answer 1

Solución.Sabemos que el ángulo entre dos vectores $\overrightarrow{u}$ $\overrightarrow{v}$ donde: $\overrightarrow{u}=(u_{1},u_{2})\\\overrightarrow{v}=(v_{1},v_{2})\,\textup{se define como:}\\\cos(\theta)=\frac{\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}}{||\overrightarrow{u}||.||\overrightarrow{v}||}=\frac{u_{1}.v_{1}+u_{2}.v_{2}} {\sqrt{u_{1}^{2}+u_{2}^{2}}.\sqrt{v_{1}^{2}+v_{2}^{2}}}\\\textup{Entonces calculemos a) y nos queda:}\\\overrigtarrow{u}=(2,-4)\\\overirgtarrow{v}=(3,2)\\\overrightarrow {u}.\overrightarrow {v}=(2)(3)+(-4)(2)=6-8=-2\\||\overrightarrow {u}||=\sqrt{2^{2}+(-4)^{2}}\\\sqrt{4+16}\\\sqrt{20}=\sqrt{(4)(5)}\\\sqrt{4}\sqrt{5}=2\sqrt{5}\\||\overrightarrow {v}||=\sqrt{3^{2}+2^{2}}\\\sqrt{9+4}\\\sqrt{13}\\\cos(\theta)=\frac{-2}{2\sqrt{5}.\sqrt{13}}\\\cos(\theta)=\frac{-1}{\sqrt{65}}\\\theta=\cos^{-1}(\frac{-1}{\sqrt{65}})\\\theta=97.1$ $\textup{Similarmente para los dem\'as incisos se tiene:b).-}\cos(\theta)=\frac{-33}{\sqrt{157}.\sqrt{74}}\\\theta=108^{o}\\c).-\theta=80.5\\ d).-\theta=91.7\\e).-\theta=0\\f).-\cos(\theta)=\frac{\overrightarrow {u}.\overrightarrow {v}}{||\overrightarrow {u}||.||\overrightarrow {v}||}\\\cos(\theta)=\frac{(-13)(13)+(-10)(-10)}{\sqrt{13^{2}+10^{2}}.\sqrt{13^{2}+10^{2}}}\\\cos(\theta)=\frac{-69}{\sqrt{269}.\sqrt{269}}\\\cos(\theta)=\frac{-69}{269}\\\theta=\cos^{-1}(\frac{-69}{269})=104.8$Saludos.