Question

Ejercicio 1 (Valor 3.5 puntos): Calcula el polinomio de Taylor de orden 2 de la función e^2x en el punto x_0=0 .

Answer 1

RESPUESTA:

Para resolver este ejercicio debemos plantear la ecuación extendida de polinomio de Taylor, tenemos:

$P(x)_{n,a} = f(a) + \frac{f'(a)}{1!} (x-xo) + \frac{f''(a)}{2!} (x-xo)^{2} + ..... + \frac{f^{n}(a) }{n!} (x-xo)^n$

Como necesitamos el polinomio de Taylor segundo orden debemos llegar hasta la segunda derivada, el punto es en cero, entonces:

f(x) = e²ˣ ∴ f(0) = 1

f'(x) = 2e²ˣ ∴ f'(0) = 2

f''(x) = 4e2ˣ ∴ f''(0) = 4

Procedemos a plantear el polinomio de Taylor:

$P(x)_{2,0} = f(0) + \frac{f'(0)}{1!} (x-0) + \frac{f''(0)}{2!} (x-0)^{2}$

Sustituyendo los valores de la función y derivadas evaluada en el punto, tenemos:

$P(x)_{2,0} = 1 + \frac{2}{1!} (x-0) + \frac{4}{2!} (x-0)^{2}$

Simplificando tenemos:

P₂.₀(x) = 1 + 2x + 2x² → Polinomio de Taylor de segundo orden centrada en el punto 0.