Question

Calcular las ecuaciones de las rectas bisectrices que cortan a los ángulos formados por las siguientes ecuaciones -4x -2y +6 = 0 x - 2y + 21 = 0

Answer 1

Lo primero que debemos recordar es que una bisectriz es la recta que divide exactamente a la mitad, los ángulos que forman dos rectas que ese interceptan.

En este caso y para fines explicativos, graficaremos nuestras dos rectas en color morado y azul, y dibujaremos las bisectrices en color rojo (B₁ y B₂).

Ahora bien... Como desde cualquier punto de las bisectrices, hacia cualquier punto de las rectas, la distancia siempre sera la misma, para hallar la ecuación de las bisectrices debemos utilizar fórmula de la distancia de punto a recta. Es decir...

$|\frac{A_1X + B_1Y + C_1}{\sqrt{(A_1)^{2}+(B_1)^{2}}}| = |\frac{A_2X + B_2Y + C_2}{\sqrt{(A_2)^{2}+(B_2)^{2}}}|$

Y como se trata del valor absoluto de dichas expresiones, eso dará a lugar dos expresiones con signo distinto que representarán las ecuaciones de las bisectrices.

Entonces, sustituiremos los datos que nos da el enunciado y operaremos para obtener lo siguiente:

Ecuación de B1:

$\frac{-4X - 2Y + 6}{\sqrt{(-4)^{2}+(-2)^{2}}} = \frac{X - 2Y + 21}{\sqrt{(1)^{2}+(-2)^{2}}}$

$\frac{-4X - 2Y + 6}{\sqrt{(16)+(4)}} = \frac{X - 2Y + 21}{\sqrt{(1)+(4)}}$

$\frac{-4X - 2Y + 6}{\sqrt{20}} = \frac{X - 2Y + 21}{\sqrt{5}}$

$\frac{-4X - 2Y + 6}{2\sqrt{5}} = \frac{X - 2Y + 21}{\sqrt{5}}$

$\sqrt{5}.(-4X - 2Y + 6) = 2\sqrt{5}.(X - 2Y + 21)$

$-4X\sqrt{5} - 2Y\sqrt{5} + 6\sqrt{5} = 2X\sqrt{5} - 4Y\sqrt{5} + 42\sqrt{5}$

En este punto agruparemos términos semejantes del mismo lado de la igualdad...

$-4X\sqrt{5} - 2X\sqrt{5} - 2Y\sqrt{5} + 4Y\sqrt{5} + 6\sqrt{5} - 42\sqrt{5} = 0$

$-6X\sqrt{5} + 2Y\sqrt{5} - 36\sqrt{5} = 0$ Esta será la ecuación de la primera bisectriz B1

Ecuación de B2:

$\frac{-4X - 2Y + 6}{\sqrt{(-4)^{2}+(-2)^{2}}} = - \frac{X - 2Y + 21}{\sqrt{(1)^{2}+(-2)^{2}}}$

$\frac{-4X - 2Y + 6}{\sqrt{20}}} = - \frac{X - 2Y + 21}{\sqrt{5}}$

$\frac{-4X - 2Y + 6}{2\sqrt{5}}} = - \frac{X - 2Y + 21}{\sqrt{5}}$

$-\sqrt{5}.(-4X - 2Y + 6) = 2\sqrt{5}.(X - 2Y + 21)$

$4X\sqrt{5} + 2Y\sqrt{5} - 6\sqrt{5} = 2X\sqrt{5} - 4Y\sqrt{5} + 42\sqrt{5}$

Agrupamos términos semejantes...

$4X\sqrt{5} - 2X\sqrt{5} + 2Y\sqrt{5} + 4Y\sqrt{5} - 6\sqrt{5} - 42\sqrt{5} = 0$

$2X\sqrt{5} + 6Y\sqrt{5} - 48\sqrt{5} -= 0$ Y esta será la ecuación de la segunda bisectriz B2.

Espero que sea de ayuda!