Alberto prestó a su sobrino Juan una suma que pidió le devolviera en 10 años
sin intereses de la manera siguiente:
Al terminar el primer año, le devolvería la mitad.
Al terminar el segundo año, le devolvería la tercera parte de lo que todavía
debe.
Al terminar el tercer año, le devolvería la cuarta parte de lo que todavía debe.
Al terminar el cuarto año, le devolvería la quinta parte de lo que todavía
debe.
…
Al terminar el noveno año, le devolvería la decima parte de lo que todavía debe y en el decimo año le pagaría el resto, una ridícula cantidad menor a 300 pesos
Si todos los pagos fueron cantidades enteras de pesos ¿Cuánto prestó Alberto a Juan?
Respuestas
Alberto prestó a Juan x pesos.
Al año devolvió X/2, debía x/2.
A los dos años devolvió (x/2)*(1/3)= x/6, debía x-(x/2)-(x/6)=x/3.
A los tres años devolvió(x/3)*(1/4)=x/12, debía x-(x/2)-(x/6)-(x/12)=x/4.
A los cuatro, x/20 y x/5.
Cinco, x/30 y x/6.
Seis, x/42 y x/7.
Siete, x/56 y x/8.
Ocho, x/72 y x/9.
Nueve, x/90 y x/10.
El décimo año devolvió menos de 300 pesos ⇒ x/10<300 ⇒ x<3000.
Como todas las cantidades devueltas fueron números enteros, tienen que ser múltiplos de 2, 6, 12, 20, 30, 42, 56, 72 y 90 y menores que 3000.
El mcm de 2, 6... 90 es 2520. El siguiente múltiplo común es mayor que 3000, lo descartamos y afirmamos que Alberto prestó a Juan 2520 pesos.
El año 1 devolvió 1260; el 2º, 420; ...210, 126, 84, 60, 45, 35; el 9º, 28.
1260+420+210+126+84+60+45+35+28=2268.
2520-2268=252
El 10º, 252 pesos.