Question

A1. Hallar el valor de “m+n”, en la ecuación: x³+mx²+ nx + 7 = 0 , si 1-2√2 es una de sus raíces (m, n son racionales).

(A) -8 (B) -3 (C) -5 (D) -7 (E) Ninguno

Answer 1

¡Buenas!

$\textrm{Para resolver el problema empezaremos con un teorema.}\\ \\ \textbf{Paridad de ra\'ices irracionales:}\\ \\ \textrm{Sea}\ P(x) = 0\ \textrm{una ecuaci\'on polinomial, donde}\ P(x)\\ \textrm{es un polinomio de coeficientes racionales, si una}\\ \textrm{ra\'iz de la ecuaci\'on es el n\'umero irracional:}\\ \\ a + \sqrt{b}\ /\ a \in \mathbb{Q}\ \wedge\ \sqrt{b}\ \in \mathbb{Q}\ ' \\ \\ \textrm{entonces otra ra\'iz ser\'a:}\ a - \sqrt{b}$

$\textrm{Con este teorema, podemos deducir f\'acilmente}\\ \textrm{que otra ra\'iz es:}\ 1+2\sqrt{2}.\\ \\ x_{1} = 1 - 2\sqrt{2}\\ \\ x_{2} = 1 + 2\sqrt{2}\\ \\ x_{3} = (?)\\ \\ \textrm{Ahora que tenemos dos ra\'ices vamos a reemplazar:}\\ \\ x^{3}+mx^{2}+nx+7=0 \\ \\ \textbf{Sustituyendo con la primera ra\'iz} \\ \\ (1-2\sqrt{2})^{3} + m(1-2\sqrt{2})^{2}+n(1-2\sqrt{2})+7=0\\ \\ (25-22\sqrt{2})+m(9-4\sqrt{2})+n(1-2\sqrt{2})+7=0\ \ \ \ ... \boldsymbol{(1)}$

$\textbf{Sustituyendo con la segunda ra\'iz}\\ \\ (1+2\sqrt{2})^{3} + m(1+2\sqrt{2})^{2}+n(1+2\sqrt{2})+7=0\\ \\ (25+22\sqrt{2}) +m(9+4\sqrt{2})+n(1+2\sqrt{2})+7=0\ \ \ \ ... \boldsymbol{(2)} \\ \\ \textrm{Ahora restamos}\ \boldsymbol{(2)}\ \textrm{y}\ \boldsymbol{(1)} \\ \\ (25-22\sqrt{2})+m(9-4\sqrt{2})+n(1-2\sqrt{2})+7=0\ \ \ \ ... \boldsymbol{(1)} \\ \\ (25+22\sqrt{2}) +m(9+4\sqrt{2})+n(1+2\sqrt{2})+7=0\ \ \ \ ... \boldsymbol{(2)} \\ \\ \boldsymbol{(2)} - \boldsymbol{(1)}$

$\textrm{Hecho la resta, nos quedar\'a de esta forma:}\\ \\ 44\sqrt{2}+8\sqrt{2}m+4\sqrt{2}n= 0 \\ \\ \textrm{Dividimos ambas partes de la ecuaci\'on en}\ 4 \sqrt{2} \\ \\ \\ \dfrac{44\sqrt{2}+8\sqrt{2}m+4\sqrt{2}n}{4 \sqrt{2} } = \dfrac{0}{4 \sqrt{2} } \\ \\ \\ 11+2m+n= 0$

$\textbf{Est\'a parte es imporante...}\\ \\ n = -2m-11 = -(2m+11)\\ \\ \textbf{Sustituyendo en ...(1)}\\ \\ (25-22\sqrt{2})+m(9-4\sqrt{2})+n(1-2\sqrt{2})+7=0\ \ \ \ ... \boldsymbol{(1)} \\ \\ (25-22\sqrt{2})+m(9-4\sqrt{2})-(2m+11)(1-2\sqrt{2})+7=0\\ \\ (25-22\sqrt{2})+m(9-4\sqrt{2})+(2m+11)(2\sqrt{2}-1)+7=0 \\ \\ 25 -22\sqrt{2} +9m -4\sqrt{2}m+4\sqrt{2}m -2m+22\sqrt{2} -11+7=0 \\ \\ 25+9m-2m-11+7=0\\ \\ 7m=-21 \\ \\ m=-3\\ \\ \textbf{Regresando a lo anterior...}\\ \\ n = -(2(-3)+11)\\ \\ n = -5$

$\textrm{Nos piden}\ "m+n"\\ \\ m+n\ \to\ (-3)+(-5)\\ \\ -8$

RESPUESTA

$\boxed{-8}$