Question

Dado un triangulo cuyos vértices son los puntos: A(-3,1);B(2,5) y C (4;0),hallar la ecuación de la recta qué pasa por el baricentel de dicho triángulo y por el origen de coordenadas cartesianas.

Answer 1

El baricentro es el punto donde coinciden las tres medianas de un triángulo. La mediana va desde un vértice hasta el punto medio del lado opuesto.

Primero se determinan los puntos medios de los lados AB, BC y CA.

Punto medio de AB. Xm = (-3 + 2 )/2 = -1/2

Ym = (1 + 5)/2 = 3

Punto medio de AB = (-1/2, 3)

Punto medio de BC. Xm = (2+4)/2 = 3

Ym = (5+0)/2 = 5/2

Punto medio de BC = (3, 5/2)

Punto medio de CA. Xm = (-3 + 4)/2 = 1/2

Ym = (1 + 0)/2 = 1/2

Punto medio de CA = (1/2 , 1/2).

Escribimos la ecuación de la mediana correspondiente a AB. Pasa por (4,0) y por (-1/2, 3).

Su pendiente es m = (3 - 0)/(-1/2 - 4)

m = -2/3

Su ecuación es Y - 0 = -2/3 (X- 4)

Y = (-2/3)X + 8/3 (Ecuación 1)

Escribimos la ecuación de la mediana correspondiente a BC. Pasa por (-3, 1) y por (3, 5/2).

Su pendiente es m = (5/2 - 1 )/(3 - (-3))

m = 1/4

Su ecuación es: Y - 1 = 1/4 (X - (-3))

Y - 1 = 1/4(X +3)

Finalmente Y = (1/4)X + 7/4 (Ecuación 2).

Ahora se determina el baricentro encontrando el punto de corte de las dos medianas, es decir resolviendo simultáneamente las ecuaciones 1 y 2.

Al igualar sus miembros derechos, nos queda:

(-2/3)X + 8/3 = (1/4)X + 7/4

(-2/3)X - (1/4)X = 7/4 - 8/3

(-11/12)X = -11/12

X = 1

Y = (1/4). 1 + 7/4

Y = 2

Entonces, el baricentro es el punto (1, 2).

Finalmente se escribe la ecuación de la recta que pasa por el origen (0, 0) y por el baricentro (1, 2).

Su pendiente es m = (2-0)/(1-0)

m = 2

La ecuación pedida es Y - 0 = 2(X - 0)

Y = 2X

La ecuación de la recta que pasa por el baricentro del triángulo y por el origen de coordenadas cartesianas  es  Y = 2X