Question

comprobar 5+7+9....+(2n+3)=n^2+4n

Answer 1

¡Buenas!

$5+7+9+11+\ \ldots\ +(2n+3) \\ \\ \textrm{Como podemos notar se trata de una progresi\'on arim\'etica de raz\'on 2.}\\ \\ S_{n} = \dfrac{n\ \cdot\ (a_{0}+a_{n})}{2} \\ \\ S_{n}\ \to\ \textrm{Suma de todos los t\'erminos} \\ \\ a_{0}\ \to\ \textrm{primer t\'ermino}\\ \\ a_{n}\ \to\ \textrm{\'ultimo t\'ermino}\\ \\ n\ \to\ \textrm{cantidad de t\'erminos} \\ \\ t_{n} = a_{0}+r(n-1)\\ \\ t_{n}\ \to\ \textrm{t\'ermino en\'esimo}\\ \\ r\ \to\ \textrm{raz\'on}\\ \\ n\ \to\ \textrm{lugar del t\'ermino}$

$2n+3=5+2(n_{0}-1)\\ \\ 2n-2=2(n_{0}-1)\\ \\ n-1=n_{0}-1\\ \\ n_{0}=n\\ \\ \textrm{El resultado nos dice que el \'ultimo t\'ermino tiene el lugar "n"} \\ \textrm{por consiguiente deducimos que hay "n" t\'erminos}\\ \\ S_{n}= \dfrac{n\ \cdot\ (5+2n+3)}{2} \\ \\ S_{n}= \dfrac{n\ \cdot\ (2n+8)}{2}\\ \\ S_{n}= n(n+4)\\ \\ S_{n}=n^{2}+4n$

$\boxed{\textrm{l.q.q.d}}$