Question

Ayuda
Calcula la derivada de las siguientes funciones en los puntos indicados usando la definición de derivada

Answer 1

Se calcular la derivada de las funciones f(x) y g(x) en los puntos x = -1 y

x = 3 respectivamente, utilizando derivada por definición:

a) f'(-1) = 8

b) g'(3) = -2

Explicación:

a) Sea,  f(x) = 6x - x²

Aplicar la definición de derivada:

$f'(x)=\lim_{h \to 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h}$

$=\lim_{h \to 0} \frac{[6(x+h)-(x+h)^{2} ]-(6x-x^{2})}{h}$

numerador;

= [6(x+h) - (x+h)²] - (6x - x²)

= 6x + 6h -(x²+2xh+h²) - 6x + x²

= 6x + 6h -x²- 2xh - h² - 6x + x²

= 6h -2xh - h²

= h(6-2x-h)

Sustituir;

$=\lim_{h \to 0} \frac{h(6-2x-h)}{h}$

$=\lim_{h \to 0} (6-2x-h)$

= 6 - 2x

f'(x) = 6 - 2x

Evaluar en x = -1;

f'(-1) = 6 -2(-1)

f'(-1) = 8

b) Sea,  $g(x)=\frac{x}{x-2}$

Aplicar la definición de derivada:

$g'(x)=\lim_{h \to 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h}$

$=\lim_{h \to 0} \frac{\frac{(x+h)}{x+h-2} -\frac{x}{x-2}}{h}$

numerador;

$=\frac{(x+h)}{x+h-2} -\frac{x}{x-2}$

$=\frac{(x+h)(x-2)-x(x+h-2)}{x+h-2(x-2)}$

$=\frac{x^{2}+xh-2x-2h-x^{2}-xh+2x}{x^{2}-xh+4x+4}$

$=\frac{-2h}{x^{2}-xh+4x+4}$

Sustituir;

$=\lim_{h \to 0} \frac{\frac{-2h}{x^{2}-xh+4x+4}}{h}$

$=\lim_{h \to 0} \frac{-2}{x^{2}-xh+4x+4}$

$g'(x)= \frac{-2}{x^{2}+4x+4}$

Evaluar en x = 3;

$g'(3)= \frac{-2}{3^{2}+4(3)+4}$

g'(3) = -2

Puedes ver un ejercicio similar https://brainly.lat/tarea/12109955.