Question

calcula el valor de k para que el punto p (-3,5) pertenezca a la recta determinada por los puntos A(2,3) y B(-1,K)

Answer 1

$ecuaci\'on\ de\ la\ recta\ que\ pasa\ por\ 2\ puntos\\ \\\frac{x-x_o}{x_1-x_o}=\frac{y-y_o}{y_1-y_o}\\ \\\frac{x-2}{-1-2}=\frac{y-3}{k-3}\\ \\\frac{x-2}{-3}=\frac{y-3}{k-3}\\ \\(k-3)(x-2)=-3(y-3)$


$(k-3)(x-2)=-3(y-3)\\ \\kx-3x-2k+6=-3y+9\\ \\3y=3x-kx+2k-6+9\\ \\3y=(3-k)x+(2k+3)\\ \\y=\frac{3-k}{3}x+\frac{2k+3}{3}$

sustituimos las coordenadas del punto p(-3,5) en la ecuación de la recta

$5=\frac{3-k}{3}(-3)+\frac{2k+3}{3}\\ \\5=(3-k)(-1)+\frac{2k+3}{3}\\ \\5=(k-3)+\frac{2k+3}{3}\ Multiplicamos\ por\ 3\ a\ todo\\ \\15=3(k-3)+2k+3\\ \\15=3k-9+2k+3\\ \\21=5k\\ \\\frac{21}{5}=k$


$y=\frac{3-k}{3}x+\frac{2k+3}{3} \ =>k=\frac{21}{5}\\ \\y=\frac{3-\frac{21}{5}}{3}x+\frac{2\cdot\frac{21}{5}+3}{3}\\ \\y=\frac{-6}{15}x+\frac{57}{15}$

K tiene que valer 21/5

Answer 2

Tomando dos puntos cualquiera, la pendiente de la recta queda definida por
                 m = (y2 - y1)/(x2 - x1)
Entre
    p(- 3, 5)
    A(2, 3)
                                  m(p-A) = (5 - 3)(- 3 - 5)
                                             = 2/- 5
                                             = - 2/5
Entre
    A(2, 3)
    B- 1, K)
                                  m(A-B) = (K - 3)/(- 1 -2)
                                             = (K - 3)/- 3
              m(p-A) = m(A-B)
                                  (K - 3)/- 3 = - 2/5
                                  5K - 15 = 6
                                      5K = 6 + 15
                                           = 21
                                                            K = 21/5