Question

Calcular el vector gradiente y la matriz hessiana de la funcion F(x,y) = Cos xy + Sen xy en R(1,Pi/2). agradesco la ayuda

Answer 1

RESPUESTA:

1- Inicialmente debemos saber que un gradiente no es mas que un vector donde las derivadas parciales representan cada coordenada, se tiene que:

∇ f(x,y) = ∂f/∂x (i) + ∂f/∂y (j)

Teniendo a f(x,y) = Cos(xy) + Sen(xy), procedemos a calcular las derivadas parciales:

→ ∂f/∂x = -Sen(xy)·y + Cos(xy)·y

→ ∂f/∂y = -Sen(xy)·x + Cos(xy)·x

Ahora evaluamos cada derivada parcial en el punto P(1,π/2), tenemos:

→ ∂f/∂x = -Sen(1·π/2)·π/2 + Cos(1·π/2)·π/2 = -π/2

→ ∂f/∂y = -Sen(1·π/2)·1 + Cos(1·π/2)·1 = -1

Por tanto el gradiente será el vector:

→ ∇ f(x,y) = -Sen(xy)·y + Cos(xy)·y (i) - Sen(xy)·x + Cos(xy)·x (j)

→ ∇ f(1,π/2) = -π/2 (i) -1 (j)

2- La matriz Hessiana tiene la siguiente forma:

$\left[\begin{array}{ccc}{f'xx&f'xy\\f''yx&f'yy\end{array}\right]$

Donde:

f'xx = segunda derivada respecto a la variable x

f'yy = segunda derivada respecto a la variable y

f'xy = derivada de f'x respecto a la variable y

f'yx = derivada de f'y respecto a la variable x

Con el calculo del gradiente logramos obtener f'x y f'y, entonces:

→ ∂f/∂x = f'x = -Sen(xy)·y + Cos(xy)·y

→ ∂f/∂y = f'y = -Sen(xy)·x + Cos(xy)·x

Procedemos a calcular las derivadas restantes.

→ f'xx = -Cos(xy)·y² - Sen(xy)·y²

→ f'yy = -Cos(xy)·x² - Sen(xy)·x²

→ f'yx = -Cos(xy)·y·x -Sen(xy) -Sen(xy)·y·x + Cos(xy)

→ f'xy = -Cos(xy)·y·x -Sen(xy) -Sen(xy)·y·x + Cos(xy)

Procedemos a evaluar las derivadas en el punto P(1,π/2)

→ f'xx = -Cos(1·π/2)·(π/2)² - Sen(1·π/2)·(π/2)² = -(π/2)²

→ f'yy = -Cos(1·π/2)·(1)² - Sen(1·π/2)·(1)² = -1

→ f'yx = -Cos(1·π/2)·π/2·1 -Sen(1·π/2) -Sen(1·π/2)·π/2·1 + Cos(1·π/2) = -1 - π/2

→ f'xy = -Cos(1·π/2)·π/2·1 -Sen(1·π/2) -Sen(1·π/2)·π/2·1 + Cos(1·π/2) = -1 - π/2

Sustituimos los valores y obtenemos la matriz Hessiana.

$\left[\begin{array}{ccc}{-(\pi/2)^{2}&-1-\pi/2\\-1-\pi/2&-1\end{array}\right]$

Nota: Es importante mencionar que se utilizaron diferentes nomenclaturas de derivadas parciales para darlas a conocer y que se tenga conocimiento de como manejar todas las nomenclaturas.