Desde un avión que se encuentra a 4500 m de altura se observan dos autos corriendo en la misma dirección y sentido con un ángulo de depresión de 62° y 35°.Determina la distancia en que se encuentran los dos autos.
Respuestas
La distancia a la que se encuentran los dos autos es de 4074 metros
Se trata de un problema de razones trigonométricas en triángulos rectángulos.
Las razones trigonométricas de un ángulo α son las razones obtenidas entre los tres lados de un triángulo rectángulo.
Representamos la situación en dos triángulos rectángulos:
El ACD: el cual está conformado por el lado CD que equivale a la altura a la que se encuentra el avión, -donde este cateto es el mismo para ambos triángulos- , el lado AC que representa la distancia desde cierto punto -ubicado en C- sobre el plano del suelo, -medido perpendicularmente desde la posición del avión- hasta el auto más lejano, -donde no conocemos esta longitud a la cual llamaremos distancia "x"-, y el lado AD que es la longitud visual desde los ojos del observador -ubicado en en el avión- hasta un auto, el cual es visto con un ángulo de depresión de 35°
El BCD: el cual está configurado por el lado CD que equivale a la altura a la que se encuentra el avión, el lado CB que es la distancia desde cierto punto -ubicado en C- sobre el plano del suelo, -medido perpendicularmente desde el punto donde se encuentra el avión- hasta el auto más cercano, -de la que no conocemos su magnitud a la cual llamaremos distancia "y"- y el lado DB que es la longitud visual desde los ojos del observador -ubicado en el avión- hasta el otro auto, el cual es visto con un ángulo de depresión de 62°
Donde se pide determinar la distancia a la que se encuentran los dos autos
Siendo la distancia "x" la longitud hasta el auto más lejano desde cierto punto en tierra medido verticalmente hasta donde se encuentra el avión
E "y" la distancia hasta el auto más cercano desde cierto punto en tierra medido verticalmente hasta donde se encuentra el avión
Halladas las distancias "x" e "y", determinaremos a que distancia se encuentran los dos autos restando de la distancia "x" la distancia "y"
Por ser ángulos alternos internos- que son homólogos- se trasladan los ángulos de depresión de 35° y de 62° a los puntos A y B respectivamente para facilitar la situación
Por ello se ha trazado una proyección horizontal
Esto se puede observar en el gráfico adjunto
Si la tangente de un ángulo α se define como la razón entre el cateto opuesto y el cateto adyacente:
Como sabemos el valor del cateto opuesto a los ángulos dados -que es la altura a la que se encuentra el avión- y conocemos los ángulos de depresión de 35° y de 62° y debemos hallar las distancias "x" e "y", - ambos catetos adyacentes- en cada uno de los triángulos rectángulos determinaremos ambas dimensiones mediante la razón trigonométrica tangente de los respectivos ángulos de depresión
En ACD:
Hallamos la distancia "x" -distancia hasta el auto más lejano-
Relacionamos los datos con la tangente del ángulo α
Planteamos
Por tanto la distancia x - hasta el auto más lejano- es de 6426.70 metros
En BCD:
Hallamos la distancia "y" -distancia hasta el auto más cercano-
Relacionamos los datos con la tangente del ángulo β
Planteamos
Luego la distancia y - hasta el auto más cercano- es de 2392.70 metros
Hallamos a que distancia se encuentran los dos autos
La distancia a la que se encuentran los dos autos es de 4034 metros
Se agrega gráfico para mejor comprensión del problema propuesto
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