Una compañía petroquímica está diseñando un tanque cilíndrico con extremos hemisféricos para ser utilizado en el transporte de sus productos. Si el volumen del tanque debe ser de 10,000 metros cúbicos, ¿qué dimensiones se deben usar para minimizar la cantidad de metal necesario?
Respuestas
Te dejo la resolucion adjunta con el paso a paso y las explicaciones para comprender mejor. La minima area que recomendariamos para la construccion del tanque seria la de 332m2 que seria una ESFERA por que la altura h del cilindro seria cero.
Saludos!!!!
Presentaciones de las ecuaciones a utilidar
Tenemos que minimizar la cantidad de material, esto equivale a miniminzar el área del cilindrico, sujeto a que el volumen del tanque es igual a 10000 metros cúibicos
Min 2πr² + 2πrh
S.A πr²h = 10000 m³
Solución del problema
Tenemos entonces que h = ( 10000 m³)/πr²
Sustituimos en la ecuación a minimizar
2πr² + 2πr*( 10000 m³)/πr²
2πr² + (20000 m³)/r
Derivamos e igualamos a cero:
4πr - 20000 m³/r² = 0
4πr = 20000 m³/r²
4πr³ = 20000 m³
r³ = 20000 m³/4π
r³ = 5000 m³/π
r = ∛(5000 m³/π)
r ≈ 11.68 metros
Entonces h = ( 10000 m³)/π(11.68 metros)² = 23.33 metros
Calculamos el área:
2π*(11.68)² + 2π*(11.68)*(23.33) = 2569.30 que es positivo entonces las dimensiones presentan un minimo
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