Question

ayuda con este ejercicio por favor
arctan (x+2) + 2 arc tan x = 2 pi/3

Answer 1

Hola!
 
  Lo primero que debes hacer para despejar la "x", es multiplicar a ambos lados de la igualdad por (tg) ya que tg*arctg(x) = x, para ello nos apoyaremos en las funciones trigonométricas, en este caso la suma de ángulos de la tangente, esto es:  $tg=( \alpha + \beta )= \frac{tg \alpha +tg \beta }{1-tg \alpha tg \beta }$. 

$tg(arctg (x+2) + 2 arctg (x)) = tg( \frac{2 \pi }{3} )$      resolviendo el lado izquierdo de la ecuación sera:  $\frac{tg(arctg_(x+2))+tg(2arctg(x))}{1-tg(arctg_(x+2))*tg(2arctg(x))}$      donde también hay que utilizar la tg del angulo doble:  $tg(2 \alpha )= \frac{2tg \alpha }{1-tg \alpha *tg \alpha}$            

resolviendo nos queda: 
$\frac{tg(arctg_(x+2))+tg(2arctg(x))}{1-tg(arctg_(x+2))*tg(2arctg(x))} = \frac{(x+2)+ \frac{2x}{1- x^{2} } }{1- (x+2)* \frac{2x}{1- x^{2} } } = \frac{(x+2)(1- x^{2} )+2x}{(1- x^{2} )-(x+2)*2x}$ 
al final esta fraccion la igualas a tg(2pi/3)
$\frac{(x+2)(1- x^{2} )+2x}{(1- x^{2} )-(x+2)*2x} =tg( \frac{2 \pi }{3} )$

resolviendo la multiplicaciones nos queda el siguiente ecuación:
$x^{3}+(2+3 \sqrt{3} ) x^{2} +(4 \sqrt{3} -3)x-(2+ \sqrt{3} )=0$     y de aqui despejas "x".

                                         Espero haya sido de gran ayuda!