Question

los numeros menores que 2000 que tengan sus cifras iguales

Answer 1

Dados dos n´umeros naturales a y b, escribiremos a|b y leeremos a divide a b siexiste un c ∈ N tal que ac = b. En este caso, decimos que a es un divisor de b oque b es divisible por a (o b es m´ultiplo de a). Por ejemplo, 3|15; por su parte, 100es m´ultiplo de 4, de 25 y de 20, entre otros; pero 3 no es divisor de 20. Llamamosprimos a los n´umeros p mayores o iguales que 2 que s´olo son divisibles por 1 ypor p. Si p es mayor o igual que 2 y no es primo, se dice que es compuesto.1. Demuestra que si p es un natural y p es compuesto, entonces existe un divisor mde p con 1 < m ≤√p.2. a) Si un n´umero es divisible por 4 y por 3 entonces, ¿es divisible por 12?b) Si un n´umero es divisible por 4 y por 6 entonces, ¿es divisible por 24?c) Si un n´umero divide al producto de otros dos, ¿divide a alguno de ellos?Se denomina m´aximo com´un divisor de dos n´umeros naturales a y b al mayorn´umero natural que divide a ambos. Se denota mcd(a, b).3. Demuestra que si a y b son dos n´umeros naturales no nulos, a > b y hacemos ladivisi´on entera, es decir:a = bc + rcon c natural y 0 ≤ r < b, entonces cualquier divisor com´un de a y b es divisorde r y cualquier divisor com´un de r y b lo es de a. Deduce a partir de aqu´ı quesi r ≥ 1, entonces mcd(a, b) = mcd(b, r). Justifica que si b divide a a (es decir,cuando r = 0), se verifica que mcd(a, b) = b.Algoritmo de Euclides. Sean a y b son dos n´umeros naturales no nulos a > b, yhacemos la divisi´on entera, es decir:a = bc0 + r1con c0 natural y 0 ≤ r1 < b.Si r1 = 0 entonces b|a y el mcd(a, b) = b, pero si tenemos que r1 6= 0 podemosvolver a aplicar el algoritmo de la divisi´on y encontrar dos n´umeros enteros c1y r2 tales que b = c1r1 + r2 , 0 ≤ r2 < r1. Este proceso puede continuarse,escribiendo r1 = c2r2 + r3 y, puesto que b > r1 > r2 · · · ≥ 0, es evidente que enun n´umero finito n de pasos, con n ≤ b, llegaremos a un resto rn = 0, es decirrn−2 = cn−1rn−1.