Question

Si la suma de divisores de 2ˣ.3ⁿ es 280
(Hallar x-n)
Soluciones:)

Answer 1

$\displaystyle \sum\limits_{i=0}^{x}\sum\limits_{j=0}^{n}2^{i}\cdot3^{j}=280\\ \\ \\ \sum\limits_{i=0}^{x}2^{i}\cdot\sum\limits_{j=0}^{n}3^{j}=280\\ \\ \\ \dfrac{2^{x+1}-1}{2-1}\cdot \dfrac{3^{n+1}-1}{3-1}=280\\ \\ \\ (2^{x+1}-1)(3^{n+1}-1)=560\\ \\ (2^{x+1}-1)(3^{n+1}-1)=2^4\cdot 5\cdot 7$


$(2^{x+1}-1)(3^{n+1}-1)=(2^{p}\cdot 5)(2^{4-p}\cdot 7)\\ \\ C_1:\begin{cases} 2^{x+1}-1=2^{p}\cdot 5\\ 3^{n+1}-1=2^{4-p}\cdot 7 \end{cases}\vee~ C_2:\begin{cases} 3^{n+1}-1=2^{p}\cdot 5\\ 2^{x+1}-1=2^{4-p}\cdot 7 \end{cases}\\ \\ \\ C_1:\\ \\ \text{La igualdad indica que 2^{x+1}-1 deber\'ia ser par. lo cual es imposible}\\ \text{entonces p=0 para luego tener 2^{x+1}=6 lo que es imposible para}\\ x\in \mathbb{N} \text{ Por ende en C_1 no hay soluci\'on}$


$C_2:\\ \\ \text{Sabemos que 2^{x+1}-1 no es par, por ende p=4 , as\'i 2^{x+1}-1 = 7 }\\ \text{entonces x=2 y por consiguiente n=3 }\\ \\ \therefore \boxed{x-n=-1}$