d) En una tienda hay 60 artículos, de los cuales 40 no tienen defectos y 20 sí son defectuosos. Si se seleccionan ocho artículos, calcula de cuántas maneras se puede hacer la elección para que a lo más dos sean defectuosos. !
Respuestas
Hay que tener en cuenta tres casos distintos que pueden darse al hacer la elección:
A) Que dos de los 8 artículos sean defectuosos
B) Que uno de los 8 artículos sea defectuoso
C) Que ningún artículo elegido sea defectuoso
Para el caso A, hay que tomar los 20 defectuosos y combinarlos (por el modo de combinaciones y no por variaciones) de 2 en 2.
C(20,2) = 20! / 2!×(20-2)! = 20×19×18! / 2×18!= 190 maneras.
Y siguiendo en este caso, ahora veamos lo que sale de la parte de los no defectuosos donde hay 40 elementos a combinar y hay que tomarlos de 6 en 6 porque los otros 2 hasta llegar a 8 ya se han contado en los defectuosos.
C(40,6) = 40×39×38×37×36×35×34! / 6×5×4×3×2×34! =
= 2763633600 / 720 = 3.838.380
Esa cantidad hay que multiplicarla por las combinaciones defectuosas calculadas anteriormente para saber el total de combinaciones del caso A
3838380 × 190 = 729.292.200 maneras
Vamos al caso B)
Contando con que escogeremos solo un defectuoso vuelvo a las fórmulas.
C(20,1) = 20! / 1!×(20-1)! = 20×19! / 1!×19! = 20 maneras.
Ahora los no defectuosos que serán los 40 tomados de 7 en 7.
C(40,7) = 40! / 7!×(40-7)! =
= 40×39×38×37×36×35×34×33! / 7×6×5×4×3×2×33! = 93963542400 / 5040 =
= 18.643.560
Igual que antes, hay que multiplicar los no defectuosos por los defectuosos para saber todas las maneras del caso B
18643560 × 20 = 372.871.200 maneras.
En el caso C está lo más simple ya que sólo hay que tomar los 40 no defectuosos y combinarlos de 8 en 8, puesto que no hay ningún artículo defectuoso.
C(40,8) = 40! / 8!×(40-8)! =
= 40×39×38×37×36×35×34×33×32! / 8×7×6×5×4×3×2×32! =
= 3100796899200 / 40320 = 76.904.685 maneras.
Y finalmente se suman los tres resultados.
729.292.200 + 372.871.200 + 76.904.685 = 1.179.068.085 maneras.
Saludos.