Diego tiene un Tangram de forma cuadrada cuyos lados miden 12 centímetros y lo compra por 8 soles él quiere saber cuál es el área del tangram y de cada una de las siete piezas se lo componen pero no tiene una regla a la mano para medir las dimensiones de cada pieza
Respuestas
- En la figura anexa se muestra el Tangram cuadrado con sus 7 piezas. Las piezas se han denominad con las letras a, b, c, d, e, f y g como se muestra:
- El área del Tangram (AT), por tener forma cuadrada es igual a uno de sus lados al cuadrado:
AT = L² = 12² = 144 cm²
- Las piezas a y b forman dos ángulos isósceles iguales , es decir sus lados son iguales, que llamaremos L1 y L2 para el triángulo a y L4 y L5 para el triángulo b. Siendo sus bases también iguales, que denotamos con L3 y L6.
L1 = L2 = L4 = L5 y L3 = L6
- L3 = L6, son iguales al lado del cuadrado L = 12 cms
- Para hallar los lados de los triángulos a y b, se determina la diagonal del cuadrado (Tangram)(D).
D = √2 x L
⇒ D = √2 x 12 = 16,97 cm
- En la figura anexa se puede observar que la diagonal es igual a la suma de los lados de los triángulos a y b, L1 y L5. Es decir:
D = L1 + L5
- Siendo L1 = L5 ⇒ D = 2L1 ⇒ L1 = D/2 = 16,97 cm/2 ⇒ L1 = 8,49 cm
- El área de un triángulo isósceles es igual a su base por la altura sobre 2
At = b x h/2
Siendo la altura igual a:
h = √(L2 – b2/4)
Entonces, el área del triángulo queda:
At =(b x √(L2 – b2/4))/2
-Para el triángulo isósceles a, el Área (Ata), es igual a:
Ata = (12 x √(8,492 – 122/4))/2 = 12 x √(72 – 144/4)/2 =
12 x √36/2 ⇒ Ata = 36 cm²
-Ya que el triángulo a tiene las mismas medidas del triángulo b, ambas piezas tienen la misma área:
Atb = Ata = 36 cm²
- Las piezas f y d del Tangram, también son triángulos isósceles, donde los lados del triángulo f son iguales a los lados del triángulo d:
L7 = L8 = L10 = L11
-Y sus bases también son iguales: L9 = L12
- El lado del triángulo f, L7, es igual a la mitad del lado del triángulo a L1:
L7 = L1/2 ⇒ L7 = 8,49 cm/2 ⇒ L7 = 4,245 cm
- Así L7 = L8 = L10 = L11 = 4,245 cm
- Las bases de los triángulos f y d, L9 y L12, son iguales a la mitad del lado del Tangram, es decir:
L9 = L12 = L/2 = 12/2 = 6 cm
- Entonces, las áreas de los triángulos Atf y Atd , son:
Atf = Atd = (6 x √(4,2452 – 62/4))/2 = 6 x √18 -36/4)/2 = 6 x √(18 – 9)/2 =
6x√9/2 ⇒ Atf = Atd = 9 cm²
- La pieza e del Tagram, es un cuadrado, cuyo lado es igual a L8 = 4,25 cm
- El área del cuadrado e (Ae) es igual a su lado elevado al cuadrado:
Ae = L82 → Ae = 4,2452 → Ae = 18 cm²
- La pieza g del Tangram, es un triángulo isósceles cuyos lados, L13 y L14 son iguales y miden la mitad de la longitud del Tangram, L:
L13 = L14 = L/2 = 12/2 = 6 cm
- La base L15 es el doble del lado del cuadrado e, L8:
L15 = 2 L8 = 2 x 4,245 → L15 = 8,49 cm
- El área del triángulo g, es:
Atg = (8,49 x √(62 – 8,492/4))/2 = 8,49 x √(36 – 72/4)/2 =
8,49 x √(36 – 18)/2 = (8,49 x √18)/2 = (8,49 x 4,24)/2 ⇒ Atg = 18 cm²
- La pieza c es un paralelogramo. Dividiendo el paralelogramo con el segmento AB, como se muestra en la figura, se forman dos triángulos isósceles c y c´. Cuyos lados son iguales L16 = L17 = L18 y también sus bases L12 = L19
- El lado L16 es igual a la mitad de la base L15 del triángulo g:
L16 = L17 = L18 = L15/2 = 8,49 cm/2 = 4,245 cm
- Las bases de los triángulos L12 = L19 = 6 cm
- El área de los triángulos Atc = Atc´, son:
Atc = Atc = (6 x √(4,2452 – 62/4))/2 = 6 x √(18 – 36/4)/2 = 6 x √(18 – 9)/2
= (6 x √9)/2 ⇒ Atc = Atc´= 9 cm²
-El área del paralelograma c, es la suma de los triángulos c y c´, es decir:
Ac = Atc + Atc´= 9 cm2 + 9 cm2 ⇒ Ac = 18 cm²
