Question

con que angulo de elevación debe dispararse un proyectil para que su alcance horizontal sea igual al triple de su altura máxima

Answer 1

La ley de movimiento de un proyectil es :

r(t) = (Vocosαt,Vosenαt-gt²/2) m, t en s

Su altura máxima la halla cuando su v= 0 m/s en el Eje Y.

Derivamos respecto al tiempo para hallar su ley de velocidad:

d/dt r = v(t) = (Vocosα; Vosenα-gt) m/s, t en s

0= vosenα -gt
t= vosenα/g

Su alcance máximo se da cuando la posición es 0 en el Eje Y:

Vosenαt-gt²/2= 0

t= 2Vosenα/g

Ahí obtenemos los tiempos donde alcanza su Hmáx y su alcance máximo.

Finalmente reemplazamos esos tiempos en la ley de movimiento:

r(t) = (Vocosαt,Vosenαt-gt²/2) m, t en s

En el eje Y ( reemplazamos el t de Hmáx)

Vosenα(Vosenα/g)-g/2*(Vosenα/g)²
Donde:

Hmax = Vo²sen²α/2g

Ahora el t del alcance máximo reemplazamos en el eje X:

Vocosα(2Vosenα/g)= Alcance máximo

2Vo²cosαsenα/g = Alcance máximo

Vo²sen2α/g = Alcance máximo

Por último, nos dice que el alcance máximo es el triple de la altura máxima.

Sea la altura máxima H y el alcance máximo R:

R=3H

Igualamos sus ecuaciones:


Vo²sen2α/g = 3(Vo²sen²α/2g)

sen2α=3/2* sen²α
2senαcosα=3/2* sen²α
2cosα=3/2*senα
4/3=tanα

Donde el angulo α = 53°