Question

un comerciante compra cierto numero de cuadernos por 40000$ y cierto numero de lapices por 40000$. cada cuaderno cuesta 1000$ mas que cada lápiz y el numero de lapices excede en dos al numero de cuadernos. ¿Cual es el precio de cada cuaderno y cuantos cuadernos se compraron?

Answer 1

Se resuelve planteando un sistema de ecuaciones de 2 incógnitas.

Precio del lápiz: x
Precio del cuaderno: x+1.000
Número de lápices: y
Número de cuadernos: y-2

xy = 40.000
(x+1.000)(y-2) = 40.000

Te lo voy a resolver por el método de sustitución.

Primero se elige una de las 2 ecuaciones y se despeja una incógnita.

xy = 40.000
x = 40.000/y ---> Se reemplazará "x" por "40.000/y".

Ahora sustituyo en la segunda ecuación.

$(x+1.000)(y-2) = 40.000$

$( \frac{40.000}{y} + 1.000)(y-2) = 40.000$ ---> Aplico distributiva.

$40.000- \frac{80.000}{y} + 1.000y-2.000 = 40.000$ ---> Multiplico todo por "y" para eliminar la fracción.
$40.000y-80.000+1.000 y^{2} - 2.000y = 40.000y$ ---> Igualo a 0.

$40.000y-80.000+1.000 y^{2} - 2.000y-40.000y = 0$

$1.000 y^{2} -2.000y-80.000 = 0$ ---> Divido todo por 1.000 para simplificar.

$y^{2}-2y-80 = 0$

Nos quedó una ecuación cuadrática del estilo ax²+bx+c, y una forma sencilla de resolver esto es aplicando la siguiente fórmula llamada Resolvente:

$x = \frac{-b \pm \sqrt{ b^{2}-4ac } }{2a}$

Cambiamos la "x" por la "y" y resolvemos.

y²-2y-80 = 0
a  b   c

a = 1
b = -2
c = -80

$y = \frac{-b \pm \sqrt{ b^{2}-4ac } }{2a} \\ \\ y = \frac{-(-2) \pm \sqrt{ (-2)^{2}-4*1*(-80) } }{2*1} \\ \\ y = \frac{2 \pm \sqrt{ 4-(-320) } }{2} \\ \\ y = \frac{2 \pm \sqrt{ 324 } }{2} \\ \\ y = \frac{2 \pm 18 }{2} \\ \\ y = \frac{2 + 18 }{2} = \frac{20}{2} = 10 \\ \\ y = \frac{2-18}{2} = \frac{-16}{2} = -8$

Entonces:

y = 10 ---> Como estamos hablando de cantidad, "y" no puede ser negativa.

Ahora calculamos el valor de "x" tomando cualquiera de las 2 ecuaciones del sistema de ecuaciones.

$xy = 40.000 \\ \\ x*10 = 40.000 \\ \\ x = \frac{40.000}{10}$

$x = 4.000$ ---> Ya sabemos el valor de "x".

Entonces:

Precio del lápiz: x = 4.000
Precio del cuaderno: x+1.000 = 4.000+1.000 = 5.000
Número de lápices: y = 10
Número de cuadernos: y-2 = 10-2 = 8

RTA: Cada cuaderno vale $5.000 y se compraron 8.


Saludos desde Argentina.