Question

como demuestro eso por inducción completa

Answer 1

Ley inducida

$\left(1-\dfrac{1}{2}\right)\left(1-\dfrac{1}{3}\right)\left(1-\dfrac{1}{3}\right)\cdots \left(1-\dfrac{1}{n}\right)\left(1-\dfrac{1}{n+1}\right)=\dfrac{1}{n+1}\\ \\ \\ \displaystyle \prod\limits_{i=1}^{n}\left(1-\dfrac{1}{i+1}\right)=\dfrac{1}{n+1}$


$\displaystyle \text{Para n=1 se verifica la propiedad anterior. Supongamos que se }\\ \text{cumpla para h o sea }\\ \\ \prod\limits_{i=1}^{h}\left(1-\dfrac{1}{i+1}\right)=\dfrac{1}{h+1}\\ \\ \\ \text{veamos que sucede si n=h+1 }\\ \\ \\ \prod\limits_{i=1}^{h+1}\left(1-\dfrac{1}{i+1}\right)=\prod\limits_{i=1}^{h}\left(1-\dfrac{1}{i+1}\right)\times\left(1-\dfrac{1}{h+2}\right)$


$\displaystyle \prod\limits_{i=1}^{h+1}\left(1-\dfrac{1}{i+1}\right)=\dfrac{1}{h+1}\times\left(1-\dfrac{1}{h+2}\right)\\ \\ \\ \prod\limits_{i=1}^{h+1}\left(1-\dfrac{1}{i+1}\right)=\dfrac{1}{h+2}\\ \\ \\ \text{Por ende la propiedad es v\'alida para n\in \mathbb{N} }$