Question

La trayectoria paraboliva del salto de una rana .

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Asumimos que la rana salta desde el punto (0,0) y llega, horizontalmente, al punto (3,0). 

Una parábola tiene la forma y = ax^2 + bx + c, por tanto, los 2 puntos anteriores deben satisfacer dicha ecuación: 

0 = a(0)^2 + b(0) + c 
c= 0, (1) 

0 = a(3)^2 + b(3) + c 
0 = 9a + 3b, (2) 

Por otro lado, como la altura maxima es 1, y esa altura máxima se logra a la mitad de la trayectoria horizontal, se tiene que la altura máxima ocurre en el punto (1.5, 1) 

1 = a(1.5)^2 + b(1.5) 
1 = 9/4a + 3/2b 
4 = 9a + 6b, (3) 

Ahora, con las dos ecuaciones que nos quedan [(2) y (3)] formamos el sistema de ecuaciones: 

9a+6b = 4 
9a + 3b = 0 

Nos queda que b= 4/3 (restamos ambas ecuaciones) 

9a + 3*(4/3) = 0 
9a = -4 
a= -4/9 

Ahora, analicemos este resultado: la trayectoria que describe el salto de la rana es una parábola que abre hacia abajo, lo cual indica que en y= ax^2+bx+c, a debe ser menor que cero para que efectivamente la parábola abra hacia abajo. Así nos dio (a=-4/9), es decir, los números confirman lo que desde un inicio se esperaba. 

Finalmente, la ecuación de la parábola es: 

y= -4/9*x^2 + 4/3x 

Es decir no hay término constante c. El valor de 'c' es el valor en el cual se corta el eje 'y' cuando 'x=0' 
En nuestro problema, cuando la rana está iniciando su salto (es decir x=0), la altura del salto aún es cero (y=0), es decir, 'c' vale cero cuando salta está inciando su salto. Por eso matemáticamente c=0 (es decir, la lógica y los números concuerdan).