Question

Los extremos del diámetro de una circunferencia son los puntos (2, 3) y (-4, 5). Encuentre su ecuación.

Answer 1

Bueno tenemos los puntos A(2,3) y B(-4,5), si son los extremos de un diametro, por lógica el centro de la circunferencia debe estar en el punto medio entre ambos puntos, llamemos a ese punto C que tendrá coordenadas (h,k). 

El punto C lo obtenemos encontrando ese punto medio sumando las x de los 2 puntos y lo dividimos entre 2, lo mismo con las y (como un promedio): 

h = ( x₁ + x₂ ) / 2 
h = ( 2 + (-4) ) / 2 
h = -2 / 2 
h= -1 

k = ( y₁ + y₂ ) / 2 
k = ( 3 + 5 ) / 2 
k = 8 / 2 
k = 4 

Por lo tanto, la coordenada del centro es C(-1,4) 

Entonces ya puedes formar parte de tu ecuación en la forma canónica: 

(x - h)² + (y - k)² = r² 
(x - (-1))² + (y - 4)² = r² 
(x + 1)² + (y - 4)² = r² 

Como puedes ver sólo te falta conocer el radio de la circunferencia, lo puedes obtener sacando la distancia entre el centro y uno de los 2 puntos que te dan como dato o bien, sustituyendo un punto en la ecuacion hallada: 

Utilizare el punto A (aunque es lo mismo si utilizamos el punto B) 

(x + 1)² + (y - 4)² = r² 
(2 + 1)² + (3 - 4)² = r² 
(3)² + (-1)² = r² 
9 + 1 = r² 
10 = r² 

Ahora ya puedes completar tu ecuacion en forma canonica: 

(x + 1)² + (y - 4)² = 10 

Y si requieres en su forma general, basta con desarrollar los binomios: 

x² + 2x + 1 + y² - 8y + 16 = 10 
x² + y² + 2x - 8y + 17 = 10 
x² + y² + 2x - 8y + 7 = 0 

Y esa es tu ecuacion general