Question

Se necesita construir una caja sin tapa con una lámina rectangular de largo 24cm y ancho 12cm. ¿cuál es la medida del lado del cuadrado que debe cortarse en cada esquina para maximizar el volumen de la caja? ¿cuál es el valor de dicho volumen máximo?

Answer 1

Respuesta: 

Para resolver este ejercicio debemos aplicar los procesos de optimización en donde se involucra la derivada. El volumen de la caja vendrá definido por: 

                                             V = Largo · Ancho · Alto 

Tenemos entonces que inicialmente el volumen seria: 

                                                      V = 24 · 12 · x

Ahora como debe cortarse en cada esquina cierta cantidad la cual sería x, entonces: 

                                                    V = (24-2x) ·(12-2x)·x 

                                                    V = 4x³ -112x² + 768x 

Derivamos la expresión del volumen y encontramos los valores de x, tenemos: 

                                                   V' = 12x² - 224x + 768 

                                                     x₁ = 14.14 y x₂ = 4.52

El valor a seleccionar es 4.52 cm, debido a que el otro valor es demasiado grande y sobre pasa al ancho de la caja, así que no tiene sentido. Calculamos el volumen. 

                                       V = 4(4.52)³ -112(4.52)² + 768(4.52)

                                                        V = 1552.53 cm³ 

El volumen máximo es de 1552.53 cm³.