Question

Se deben instalar varios anillos de cemento como base de una torre de televisión. La instalación del primer anillo cuesta USD 437, del segundo por ser de menor tamaño USD 414; del tercero USD 391 y así sucesivamente según una progresión aritmética. Si al pagar por cada uno de los anillos, el valor total de la factura fue de USD 4 370, determine el número de anillos de cemento que contiene la torre.

Answer 1

⭐SOLUCIÓN: Un total de 19 anillos

Este problema es de progresiones aritméticas, en el cual cada uno de los términos (en este caso precio del anillo) va disminuyendo a una razón o diferencia constante. Observa que:

a₁: 437
a₂: 414
a₃: 391

La diferencia es igual a:

a₂ = a₁ + d

d = a₂ - a₁

d = (414 - 437) = -23

Quiere decir que el precio disminuye a razón de 23$

Ya sabiendo el precio total de la factura, aplicaremos la fórmula de suma en una progresión:

$Sn= \frac{2 a_{1}+(n-1)*d }{2}*n$

Donde "n", es el término enésimo de la progresión, es decir, el valor que estamos buscando.

$4370= \frac{2*437+(n-1)*-23 }{2}*n$

$4370= \frac{874+(n-1)*-23 }{2}*n$

$4370= \frac{874-23n+23 }{2}*n$

$4370= \frac{897n-23n^{2} }{2}$

8740 = 897n - 23n²

-23n² + 897n - 8740 = 0 → ECUACIÓN DE 2DO GRADO

Con: a = -23, b = 897 y c = -8740

Solución 1:

$\frac{-897+ \sqrt{ 897^{2} -4*-23-8740} }{2*-23}=19$

Solución 2:

$\frac{-897- \sqrt{ 897^{2} -4*-23-8740} }{2*-23}=20$

Tomamos n = 19, por ser la solución menor

Se comprueba:

$Sn= \frac{2 *437+(19-1)*-23 }{2}*19$

$Sn= \frac{874-414 }{2}*19 =4370$