Question

halla el área sombreada en la siguiente figura, ayudenme en estos puntos por favor, se los agradecería

Answer 1

Solución
El rectángulo sombreado tiene un área de
$A_{1}=(x^{2}+2)(x^{2}-1)$ y la del rectángulo blanco es $A_{2}=(x^{2}-x-1)(x^{2}-x+2$ por lo tanto el área de la sección rectangular es :
$A_{1}-A_{2}=(x^{2}+2)(x^{2}-1)-((x^{2}-x-1)(x^{2}-x+2))$
Luego desarrollando los productos y simplificando se obtiene:
$x^{4}+x^{2}-2-(x^{4}-2x^{3}+2x^{2}-x-2)\\x^{4}+x^{2}-2-x^{4}+2x^{3}-2x^{2}+x+2\\x^{4}-x^{4}+2x^{3}+x^{2}-2x^{2}+x+2\\2x^{3}-x^{2}+x+2$
Finalmente la sección rectangular sombreada es:
$2x^{3}-x^{2}+x+2$

Para el segundo problema se tiene que el área del rectánguloes:
$A=(x+y)(x+3y)=x^{2}+4xy+3y^{2}$
También se pudo haber llegado al resultado sumando las áreas individuales es decir:
El área del rectángulo blanco es:
$A_{1}=xy$
El área del cuadrado sombreado de lado $x$ es:
$A_{2}=x.x=x^{2}$
El área del rectángulo de lados $3y$ y $x$ es:
$A_{3}=(3y)(x)=3xy$
Finalmente el área del último rectángulo de lados $3y$ y $y$ es:
$A_{4}=(3y)(y)=3y^{2}$
Luego sumando todas las áreas se obtiene:
$A_{1}+A_{2}+A_{3}+A_{4}\\xy+x^{2}+3xy+3y^{2}\\x^{2}+4xy+3y^{2}$

El área del triángulo de base $x+y$ y altura $2x+4y$ es:
$A=\frac{(x+y)(2x+4y)}{2}\\A=\frac{2x^{2}+6xy+4y^{2}}{2}\\A=x^{2}+3xy+2y^{2}$
Saludos.