Question

Hallar ecuaciones para las normales a la hiperbola 4x^2 - y^2 =36 , que son paralelas a la recta 2x+5y=4

Answer 1

La pendiente de la recta 2x+5y=4 es -2/5, como las derivadas hallan rectas tangentes entonces la pendiente de las rectas tangentes a buscar serán las que tengan como pendiente 5/2.

(1) Rectas tangentes con pendiente 5/2

$(4x^2 - y^2)'=0\\ \\ 8x-2yy'=0\\ \\ y'=\dfrac{4x}{y}=\dfrac{5}{2}\to y=\dfrac{8x}{5}$

(2) buscando puntos en la hipérbola de la forma $\left(x,\dfrac{8x}{5}\right)$

$4x^2 -\left(\dfrac{8x}{5}\right)^2=36\\ \\ \\ x^2\left(1-\dfrac{16}{25}\right)=9\\ \\ \\ x\in\{-5,5\}\to P_1=(-5,-8)\,,\,P_2=(5,8)$

(3) Ecuaciones de las normales en los susodichos puntos

$\mathcal{L}_1: y+8=-\dfrac{2}{5}(x+5)\\ \\ \\ \mathcal{L}_2: y-8=-\dfrac{2}{5}(x-5)$