Question

La ecuación del plano tangente a la superficie z=x2+y2−2xy+2y−2z=x2+y2−2xy+2y−2 y el punto (1,2,3)(1,2,3)

Answer 1

Se llama plano tangente a una superficie en un punto P de la misma, al plano que contiene todas las tangentes a las curvas trazadas sobre la superficie por el punto P. 

La superficie está definida de manera explícita z = f(x,y) entonces la ecuación del plano tangente en el punto P(X₀, Y₀, Z₀) viene definida por
Z-Z₀=(∂z/∂x)p(X-X₀)+(∂z/∂y)p(Y-Y₀)---->Ec. 1
(∂z/∂Y)p--->ESTO SIGNIFICA:
La derivada parcial de la función evaluada en el punto.
Tenemos que la función es:
$z= x^{2} + y^{2} -2xy+2y-2$
Y la tendremos que evaluar en el punto:
(1,2,3)

∂z/∂x=2x-2y
(∂z/∂x)evaluada en (x=1, y=2)=2(1)-2(2)=-2

∂z/∂y=2y-2x+2
(∂z/∂y)evaluada en (x=1, y=2)=2(2)-2(1)+2=4

Sustituyendo en Ec. 1 tendremos:
Z-3=-2(x-1)+4(y-2)
Aplicando propiedad distributiva de la multiplicación y reducción de términos semejantes:
z=-2x+4y-3