Question

ecuación de la recta que pasa por el punto
A (-1,4) y es perpendicular a la recta que pasa por los puntos C (-2,7) y D (1/4,6)

Answer 1

La ecuación de la recta en su forma reducida
     y = b + mx
          y, x = variable dependiente e independiente respectivamente
              b = coeficiente lineal u ordenada en el origen
              m = coeficiente angular a o pendiente
                      m = (y2 - y1)/(x2 - x1)

Recta que pasa por C(- 2, 7) y D( 1/4, 6)
          Pendiente
                           m1 = (6 - 7)/[1/4 - (- 2)]
                                 = (- 1)/(1/4 + 2)
                                 = (- 1)/(9/4)
                                 = - 4/9
Recta paralela que pasa por A(- 1, 4)
Siendo perpendicular, su pendiente es el inverso negativo
                m2 = - 1/(- 4/9)
                     = 9/4
En A
              4 = b + (9/4)(- 1)
              4= b - 9/4
               b = 4 + 9/4
               b = 16/4 + 9/4
               = 25/4
La ecuación que busca es, en su forma
          reducida
                                                                      y = 25/4 + 9/4x
 
           general
                multiplicando todo por 4
                       4y = 25 + 9x
                                                                      9x - 4y + 25 = 0

Answer 2

Nos piden hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto A(-1,4), además, sabemos que es perpendicular a una recta que pasa por los puntos C(-2,7) y D(1/4,6). Para hallar la ecuación de una recta, necesitamos dos puntos de la recta, o un punto y su pendiente; en este caso tenemos un punto (A), pero podemos hallar su pendiente pues sabemos que si dos rectas son perpendiculares, entonces, el producto de sus pendientes es igual a -1. Sea $m_{1}$ la pendiente de la recta a la cual queremos hallar su ecuación, y sea $m_{2}$ la pendiente de la ecuación que pasa por los puntos C y D. Entonces:

$m_{2}$ = $\frac{7-6}{-2-1/4}$ = -$\frac{4}{9}$

Ahora, podemos calcular la pendiente $m_{1}$ como sigue:
$m_{1}$*$m_{2}$ = -1   , despejando $m_{1}$ tenemos que:

$m_{1}$ = $-\frac{1}{m_{2}}$  , y reemplazando $m_{2}$ tenemos:

$m_{1}$ = $-\frac{1}{-\frac{4}{9}}$ = $\frac{1}{\frac{4}{9}}$ = $\frac{9}{4}$

Luego, la pendiente de la recta que pasa por el punto A es $m_{1}$=$\frac{9}{4}$. Ya teniendo el punto A y la pendiente $m_{1}$, usamos la ecuación punto-pendiente, que nos permite hallar la ecuación de la recta que buscamos.

$y - y_{0}= m_{1} (x-x_{0})$ , donde $y_{0}$ y $x_{0}$ son las coordenadas de el punto A y $m_{1}$ la pendiente. Reemplazando tenemos: 

$y - 4= \frac{9}{4} (x-(-1))$ 
$y - 4= \frac{9}{4} (x+1))$ 
$y - 4= \frac{9}{4}x+\frac{9}{4}$ 
$y = \frac{9}{4}x+\frac{9}{4}+4$ 
$y = \frac{9}{4}x+\frac{25}{4}$ 

Y así, ya tenemos la ecuación de la recta buscada.