Question

Ayuda a derivar la siguiente funcion:
$f(x) = (3x - {x}^{3} + 1 )^{4}$
Con procedimiento por favor

Answer 1

$f(x)= (3x- x^{3}+1 )^{4},$
Sea:
$u=3x- x^{3}+1$
Luego:
$f(x) = u ^{4} ,$

Derivando f con respecto a x; haciendo uso de la regla de la cadena obtenemos que:
$df/dx = 4u^{3} du/dx$

Pero:
$du/dx = (3x-x^{3}+1 )' = 3-3 x^{2}$

Por consiguiente:
$df/dx = 4(3x- x^{3}+1)^{3} (3-3 x^{2})$

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Recordemos que la derivación polinómica se obtiene haciendo uso de una propiedad de la derivación:
La derivada de la suma es la suma de las derivadas; esto es:
$d(f(x)+g(x))/dx = d(f(x))/dx + d(g(x))/dx = f'(x)+g'(x)$

Y cada término de la forma:
$a x^{n}$
tiene como derivada respecto a x:
$d(a x^{n})/dx = an x^{n-1}$

Donde a es un número real cualquiera y n es cualquier número real distinto de 0. 

Y recordemos también que:
$df(x)/dx = f'(x) = f^{1}(x)$