Question

Hallar la ecuación del plano perpendicular al plano 3x-2y+5z-1=0 y que pasa por los puntos (4,-2,2) y (1,1,5)

Answer 1

Plano 1: 3x-2y+5z-1=0   n1= ( 3,-2,5)
Plano 2:   lo que queremos n2= (a,b,c)

Plano 2 pasa por (4,-2,2) y (1,1,5)
Sea A=(4,-2,2) y B= (1,1,5)
 y el vector BA= (-3,3,3) 

El vector normal n2 será perpendicular al vector normal n1 y también al vector BA
Por lo tanto estos serán perpendiculares, o también puedes comprobarlo haciendo su producto punto y como resultado te dara 0:

Entonces como es perpendicular a estos dos vectores, se cumple que:
(Esto es si y solo si lo tres son perpendiculares entre si) 

n1 x BA = n2   (PRODUCTO CRUZ)

| 3 -2  5|
|-3  3  3|

Hallando su determinante hallaremos el n2:

[(-6-15),-(9+15),(9-6)] = (a,b,c) = n2

(-21,-24,3) = n2 el vector normal del plano que buscamos, 

Finalmente reemplazamos en la formula del plano:

P((x,y,z) - (4,-2,-2)) . (-21,-24,3)= 0

(x-4,y+2,z+2). 3(-7,-8,1) = 0

3(-7x+28-8y-16+z+2)=0

Plano 2 : 7x+8y-z = 14